Cuadrado perfecto

Cuadrado perfecto Concepto: Número natural n igual a p2 siendo p número natural.

Diremos en aritmética que el número natural n es cuadrado perfecto si n = p × p, aquí p es número natural.

Definición

Sea k un número natural se dice que es cuadrado perfecto si y sólo si puede expresarse como n² donde n es también un natural.

También un número cuadrado perfecto es un número cuya raíz cuadrada es un número entero.

• Generalizando, sea r número racional no negativo, diremos que r es cuadrado perfecto si existe q racional tal que r = q × q. O bien su raíz cuadrada aritmética es un número racional.

Ejemplo: 196/ 625 es cuadrado perfecto, pues 196/625 = 14/25 × 14/25

Propiedades

• Si c es un cuadrado perfecto par su raíz cuadrada también es par
• Cuando h es un cuadrado perfecto impar su raíz cuadrada también lo es.
• La diferencia de los cuadrados de dos números impares consecutivos es divisible por 8.
• La diferencia de los cuadrados de dos números pares consecutivos es múltiplo de 4.
• Un número primo de la forma 4k+1 es la suma de dos cuadrados perfectos.
• n² ≥ n; para n > 1 se tiene n² > n.

Expresión de los cuadrados perfectos como serie.

Los cuadrados perfectos también pueden expresarse como serie:

• 

O lo que quiere decir, que el n-ésimo número cuadrado perfecto n² es la suma de los n primeros números impares.

Esto es de gran importancia por ejemplo para el cálculo automatizado pues reduce una potencia a una suma. También aporta un valor aproximado para raíces no perfectas permitiendo definir cotas superiores superiores e inferiores mínimas para el cálculo aproximado de sus valores.

La demostración se realiza mediante inducción matemática.

Distancia entre cuadrados perfectos

Conocida la raíz n de un cuadrado perfecto pueden determinarse el próximo cuadrado perfecto mediante:

• (n+1)² = n² + 2n+1.

Es decir, el próximo cuadrado perfecto está a 2n+1 unidades de distancia.

Ejemplo:

El próximo cuadrado perfecto que le sigue a 400 es:

• 400+2*20+1 = 441.

En cambio para determinar el cuadrado perfecto anterior sería:

• (n-1)² = n² -(2n-1).

Ejemplo:

• 400-(2*20-1) = 361.

Cantidad de divisores

Los números cuadrados perfectos tienen una cantidad impar de divisores, no así los que no lo son.

Esto se debe a que los divisores como son el resultado de un producto vienen dados por parejas, sin embargo, en los cuadrados perfectos como tienen raíz natural k, tienen la pareja de factores kk=n.

Ejemplo 1: Divisores de 144 por pareja:

• 1 y 144.
• 2 y 72
• 3 y 48
• 4 y 36
• 6 y 24
• 8 y 18
• 9 y 16
• 12.

Tiene 13 divisores.

Ejemplo 2: Divisores de 40 por pareja:

• 1 y 40.
• 2 y 20
• 4 y 10
• 5 y 8

Tiene 8 divisores.

Conjetura de Bachet

La conjetura de Bachet, demostrada en 1770 por Joseph Louis Lagrange, plantea que cualquier número natural puede escribirse como la suma de cuatro cuadrados perfectos:

• n = a²+b²+c²+d².

En su demostración Lagrange prueba la imposibilidad de expresar cualquier número con cantidades inferiores a 4 cuadrados perfectos.

Ejemplo:

• 31 = 5²+2²+1²+1²
• 310 = 17²+4²+2²+1²

Números pitagóricos

Derivado del Teorema de Pitágoras, se llaman números pitagóricos a 3 números naturales a, b y c que representan respectivamente a los 2 catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, relacionados mediante la fórmula:

• c² =a² + b².

Por ejemplo:

• 3 , 4 , 5
• 9, 40, 41
• 16, 63, 65
• 36, 77, 85

Fuentes

• K. Ríbnikov. Historia de las Matemáticas. Editorial MIR, Moscú. 1987.
• Artículo: Suma igual a cuadrado perfecto. Disponible en: "gaussianos.com". Comsultado: 22 de marzo de 2012.
• Artículo: Cuadrado perfecto. Disponible en: "es.wikipedia.org". Consultado: 22 de marzo de 2012.