Divisores primos naturales

Como divisor primo natural se llama a un número natural y primo que divide a otro. Como ejemplo: los divisores primos naturales de 105 son 5 y 17, pero sus divisores primos enteros son -5, 5, 17, -17. Los números naturales primos son los naturales mayores que 1, tienen exactamente dos divisores el mismo número y 1. Un algoritmo de la aritmética es la descomposición de un número natural es factores primos, por ello es necesario conocer qué requisitos poseen para ser divisible. De otro modo, cómo sabemos que cierto número es divisible, por ejemplo, por 97. Se centra este estudio en los primos no menores que 17 y otros de dos cifras.

Diversos divisores

  • 17: Hay dos criterios. Uno sustractivo y otro aditivo. Para ganar eficiencia se puede empezar con el aditivo y de remate, el sustractivo.
    • Consideremos N = 10a+b, donde a, cardinal de decenas. Si a-5b es múltiplo de 17, N también lo es.
Ejemplo: N=6 494. Entonces a=649, b=4. 649-5×9=629 →62-45=17. Se puede hacer un programa, por naturaleza involucra un algoritmo.
    • Dado N = Mab, donde N son las centenas y ab las dos últimas cifras. Se desgaja ab y su óctuplo se suma a M, o sea H=M+8×ab, si esta suma es de 17, N lo es. Se continúa para H.
Ejemplo Sea N =13 991, M=139 y ab =91; lugo H= 139+8×91=867, aquí aplicamos el primer criterio: 85-5×7 = 51, múltiplo de 17, por tanto 13 991 lo es. [1], [2]
  • 19,. Primer criterio, aditivo Sea N=Mb, aislamos b y formamos: M+2b, si esta suma es 19k, N es múltiplo de 19.

Sea N = 12 958. b =8. Luego 1 295 +2×8=1 311→131+2×1=133→13+2×3=19, por tanto 12 958 es múltiplo de 19.

Segundo criterio, sustractivo: Dado N= Mab, si H = M-15×ab es cero o múltiplo de 19, entonces N también lo es.
Ejemplo 284 829 →ab= 29, M = 2848, H = 2848-15×29 = 2413→24-15×3= -171. Primer criterio 17+2×1=19, De 171, se separa 1 si se agrega su duplo. [3]


  • 23. N =10a+b, a es la cantidad de decenas y b las unidades. Si a+7b= 23k, N es divisible por 23.

Ejemplo:10 511. Entonces a=1 0511, b= 1. Luego 1 051+7×1=1 058 →105+7×8 =161→16+7 =23. Por tanto 10 511 es múltiple de 23. [4]


  • 29. Sea N=Mb, aislamos b y formamos: M+3b, si esta suma es 29k, N es múltiplo de 29.

Sea N = 16 936. b =6. 1 693+3×6=1 711→171+3×1=174→17+3×4=29, por tanto 16 936 sí lo es.

  • 31.

Un número es divisible por 31 si al separar la cifra de las unidades, multiplicarla por 3 y restar a las cifras restantes el resultado es múltiplo de 31.

  • 37. Dado N =ABCD..., donde A, B y C son bloques tridigitales. Pudiendo A tener 2 cifras. Se efectúa A-B-C-D .. si sale múltiplo de 37 N también lo es.

Ejemplo: N = 703 444 481 518, de izquierda a derecha A= 703, B= 444, C= 481, D = 518. La resta reiterada: 703-444-481-518 =-740. A sí N es múltiplo de 37.

  • 41. Dado N=Mb, aislamos b y formamos la diferencia: M-4b, si esta es 0 ó 41k, N es múltiplo de 41.

Sea N = 34 317. b =7. Resta 3 431-4×7 =3 403 → 340-4×3 =328 → 32-4×8 =0 . Luego 34 317 es múltiplo de 41.

  • 43. Considremos N =Mab, M las centenas; ab el numeral con las cifras terminales. Si M-3×ab es 0 ó múltiplo de 43, a su vez N es múltiplo de 43.

Ejemplo: Dado 19 651, M = 196 y ab = 51. La diferencia 196-3×51=43, luego N es divisible por 43.

  • 61. Sea el número natural N = Mb, b unidades y el número H= M-6×a son equirresiduales, mejo si H=0 ó H =61k, el número N es múltiplo de 61.
Ejemplo N = 5429, H =542-6×9 = 488→48-6×8= 0.

Criterios generales

  • 10r +s es divisible por 10p-1 si, sólo si lo es r+ps por 10p-1; aplicable a los casos de 19, 29, 79, 89 que son primos racionales, además para números compuestos que rematan en 9. Se calcula p, para el divisor, agregando 1 a la cifra de las decenas; para 19, p =1+1.
  • 10r +s es divisible por 10p+1 si, sólo si lo es r-ps por 10p+1; usable en los casos de los primos racionales 11, 31, 41, 61 y otros que terminan en 1.El valor de p coincide con la cifra de las decenas del divisor; para 31, p = 3.
  • 10r +s es divisible por 10p-3 si, sólo si lo es r-(3p-1)s por 10p-3: empleable con los primos racionales 17, 37, 47,67, 97 y otros que terminan en 7.
  • 10r +s es divisible por 10p+3 si, sólo si lo es r+(3p-1)s por 10p-3; utilizable para los primos 13, 23, 43,53,73, 83 y compuestos que terminan en 3. [5]

Usos

  1. Estos casos sirven en especial para descomponer los naturales en factores primos.
  2. Para obtener el máximo común divisor de dos o más números naturales.
  3. Para hallar el mínimo común múltiplo
  4. Simplificación de fracciones.

Referencias

Fuentes

  • G. N. Berman, Un paseo por la teoría de los números Editorial URSS, Moscú- 2007
  • N. N. Vorobiov, Criterios de divisibilidad Editorial Mir, Moscú 1984