Ecuaciones resueltas en números enteros

Uno de los temas más complicados de la teoría de números es el hallazgo de las soluciones, en números enteros, de ecuaciones algebraicas con coeficientes enteros y con más de una incógnita. Trabajo abordado por Pitágoras, Diofanto de Alejandría; en la época moderna por Pedro Fermat, Leonardo Euler, José Luis de Lagrange. Un aporte de mucha importancia es el método de sumas trigonométricas- cuyo autor es el matemático soviético, Vinográdov. Cabe decir que solo el caso de ecuaciones en números enteros con dos incógnitas, está totalmente resuelto. Aparte del interés teórico de este tema se presentan ecuaciones de este tipo en los predios de la física. [1]

Ecuación con una incógnita

De primer grado

Sea la ecuación mt + n = 0, donde m y n son números enteros. La solución de la ecuación es

t = -n/m, este cociente será un número entero sólo en el caso de que n sea un múltiplo de m. Por ejemplo para el caso
7t + 56 = 0, da como solución t = -8.

De grado superior al primero

Sea la ecuación cuadrática 4t 2 -3t-1 = 0, tiene las raíces t = 1 ( solución entera) y t = -1/4, solución fraccionaria.

La ecuación (t -1) 2 = tiene como raíces los números irracionales: t = 1 ± (5)1/ 2 . Obviamente ninguna raíz entera.
Sea la ecuación b m t m +b m-1 t m -1+...+ b 1 t + b 0 = 0. (m ≥ 2).
Se asume t = r una raiz entera de esta ecuación, si es así, cabe:
b m r m +b m-1 r m -1+...+ b 1 r + b 0 = 0, los términos anteriores a b 0 son divisibles por r, y para que toda la expresión resulte un número entero, se precisa que b0 / r sea entero , esto es que b 0 sea múltiplo de r.

Por lo que , en la práctica, bastaría buscar los submúltiplos enteros de b0, y analizar, mediante división sintética cuáles dan resto cero, justamente los que son las raíces enteras de la ecuación propuesta.

Hallar las raíces enteras de la ecuación 5t 3 -4t 2 - 31t - 6 = 0. En el presente caso tenemos como raíces enteras potenciales: ±1, ±2, ±3, ±6. Resulando las raíces enteras: -2 y 3.

De primer grado con dos incógnitas

La representación general en este caso es de la forma ax + by = c, donde a y b son números enteros distrintos de cero, c es un número entero arbitrario.

Caso I

c = 0.

En este caso se asume que MCD(a,b) = 1. O en otras palabras a y b son coprimos.

Sea ax + by = 0. (α)

se tiene que ax = -by o bien x = -by/a. Ello exige que y = ka, por la coprimalidad de a y b y obtener resultado entero; de donde x = -kb.
solución x = -kb; y = ka.

Caso II

c es diferente de cero.

Teorema

sean a y b coprimos y [x0, y0* una solución cualquiera de la la ecuación

ax + by = c entonces las expresiones
x =x0 - bs, ... y = y0 + as
siendo s = 0, ±1, ±2,... proporcionan todas las soluciones de la ecuación (α)

Referencias