Espacio regular

Entre tantos casos de los axiomas de separación, en topología general, dada la necesidad de tener que separar, mediante conjuntos abiertos , conjuntos cerrados de los puntos de su complemento, se nos presenta una nueva clase de espacios topológicos, la llamada clase de los espacios regulares.

Definición

Se dice que un espacio topológico S es un espacio regular cuando para cada conjunto cerrado O de S y cada punto w que no pertenece a O, existen un entorno K de w y un entorno L de O, siendo los entornos, conjuntos disjuntos. [1].

Teorema

Consideremos un espacio topológico (X, T) . Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

  1. X es un espacio regular.
  2. Si U es un abierto de X y t ∈ U, entonces existe un abierto W de X tal que t ∈ W y la adherencia de W está contenida en U
  3. Cualquier punto de X tiene un sistema fundamental de vecindades cerradas.[2]

Advertencia y definición

En general a un espacio topológico regular y T1 se les denomina T3 .

Es claro que si X es un espacio T1 y regular entonces es de Hausdorff (ya que en los espacios T1 los conjuntos unipuntuales son conjuntos cerrados). Sin embargo, hay ejemplos de espacios Hausdorff no regulares. Para el caso de espacios compactos, ser Hausdorff y ser regular son propiedades equivalentes.

Una caracterización de los espacios T3 está dada por la siguiente proposición: un espacio X es T3 si y solo si para todo z en X y U entorno de z existe un entorno V de z tal que la adherencia de V es subconjunto de U.

Verbigracias

  • El espacio topológico ℝ con la topología usual es un espacio regular.
  • Sea S un conjunto provisto de topología trivial. Entonces S es un espacio regular [3]
  • Sea el conjunto ℝ y la topología sobre él, T = {∅, ℚ, ℝ\ℚ, ℝ}, entonces (ℝ, T) es un espacio regular, pero no es un espacio de Hausdorff [4]
  • El espacio de Sierpinski no es T3.

Consúltese además

  • Axiomas de separación
  • Espacio de Kolmogórov (T0)
  • Espacio de Fréchet (T1)
  • Espacio de Tíjonov (T3½)
  • Espacio normal

Fuentes

  • Kolmogórov- Fomín: Elementos de la Teoría de Funciones y del análisis Funcional
  • Ayala-Domínguez y Montero. Elementos de la topología general.

Referencias

  1. ↑ Clara M. Neira U. Notas de Topología 2003
  2. ↑ Clara M. Neira U. Op, cit
  3. ↑ Clara M. Neira U. Obra citada
  4. ↑ Clara M. Neira U. Op. cit
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