Estructuras matemáticas con números reales

Estructuras matemáticas con números reales: Hay una corriente matemática que postula que la matemática fuera el estudio de las estructuras algebraicas, topológicas y de orden. Caro deseo de la escuela de Bourbaki. Por ello se pretende mostrar, de modo breve, toda la arquitectura operativa que se montado sobre la base de los números reales; que definitivamente, son uno de los objetos más importantes y su representación más conocida es a base decimales. El conjunto R de los números reales, debidamente formalizado con los trabajos de George Cantor y Richard Dedekind a fines del siglo XIX, provisto de operaciones asume diversas estructuras algebraicas; y con operadores R resulta con otras estructuras matemáticas de interés matemático.

Estructuras algebraicas

Como grupo

Se dice que un conjunto G con la operación * ( aplicación *  : G × G--> G) es un grupo si cumple:

a * (b * c) = (a * b) * c asociatividad
Para cierto elemento e cabe que para cualquier elemento a de G se cumple e*a = a . e se llama elemento identidad de G; se prueba su unicidad y su conmutatividad.
Para cada elemento a de G hay otro elemento a' tal que a*a' = e . a' se llama inverso de a; toma otros nombres, es conmutativo, único, involutivo.

para conjuntos de números reales se tiene:

  1. El conjunto R de todos los números reales con la adición forman un grupo abeliano.
  2. El con R\{0} de todos los reales no nulos con la multiplicación. [1]
  3. Los reales positivos forman un grupo multiplicativo

Como anillo

Sobre la base del grupo aditivo y la multiplicación, sin considerar el inverso multiplicativo, es un anillo conmutativo unitario.

como cuerpo

Pues al ser ℝ un anillo, y al tener cada real no nulo su inverso multiplicativo, es un cuerpo conmutativo o campo.El cuerpo de los números reales es de característica 0, pues el subcuerpo de los números racionales Q contenido en R, es un un cuerpo primo. [2]

Como espacio vectorial

Se considera el vector (r) a cada número real; y como adición vectorial, la suma usual de los reales y como escalar cualquier número real.

Otras estructuras

como espacio métrico

El conjunto de los números reales, con la distancia definida por r = |x- y| donde x,y son reales, constituyen un espacio métrico [3].

como espacio normado

El conjunto de los reales, con la adición y la multiplicación por un escalar real, es espacio lineal. Le dotamos la función escalar, llamada norma, que cumple las siguientes condiciones.

|| r || = 0, s.s.s, r = 0
|| r || >= 0
||λ r || = |λ||| r ||
|| r + s || <= || r || + || s ||
que se cumple para los números reales, es un espacio normado,
con la norma || r - s ||= |r-s| inducida por

la métrica ρ = |r-s| = || r - s || [4]

como espacio de Banach

Se dice que una sucesión (xn ) es fundamental o es una sucesión de Cauchy',

siempre que para todo > 0 ,
hay un número N> 0 tal que
ρ (xn, xm) < ε
para cualesquiera n, m > N .
En la recta numérica ( conjunto de los números reales), se cumple el criterio de Cauchy: una sucesión (xn ) converge cuando y solo cuando ella es fundamental. De modo que el conjunto R que es un espacio normado completo, lo que significa que es un espacio de Banach.[5]

Con topologías

Topología ordinaria

Diremos que el subconjunto S de números reales es abierto si para todo elemento x de él existe un intervalo abierto I contenido en S .

Consideremos la familia T de todos los conjuntos abiertos de R que satisfacen las condiciones:

Por definición el conjunto ∅ y el ℝ son abiertos
la unión de cualquier cantidad y la intersección de una cantidad finita de conjuntos de T son miembros de la familia T
esta familia de conjuntos T se denomina topología usual de R [6]

Interestructuras

El conjunto de los reales permite que el aspecto algebraico se vincule con lo topológico, de ello resulta que R sea:

  1. Grupo topológico: Un grupo algebraico provisto de una topología adecuada, normalmente la topología usual de la recta.
  2. Anillo topológico: Un anillo algebraico que se comporta como espacio topológico. La adición, la sustracción y la multiplicación son continuas.
  3. Cuerpo topológico: Cuerpo algebraico dotado de topología. Las cuatro operaciones racionales son continuas. [7]

Referencias

Fuentes

  1. Kurosch: Álgebra Superior
  2. Boss: Análisis Funcional
  3. Haaser & Sullivan: Análisis real

Véase también

  1. Grupo
  2. Anillo
  3. Cuerpo
  4. Espacio vectorial
  5. Espacio topológico