Función determinada ímplicitamente por una ecuación

Supongamos que los valores de las variables x, y se hallan vinculados por una ecuación que breve y simbólicamente se escribirá

H (x; y) = 0 →(1)

Si la función y =φ(x) definida en cierto intervalo < a; b > y al reemplazar a y en (1) , la ecuación se convierte en una identidad respecto a x, se llama función implicitamente determinada por una ecuación ; en este caso po H(x;y).

Ejemplos

• 2x +3y -5 = 0.
• 9x²+ 4y² - 36, → (2), que determina implicitamente las dos siguientes funciones:

1. y = 0.5(36-9x²)^0.5
2. y = -0.5(36-9x²)^0.5

.. estas ecuaciones se han obtenido resolviendo la ecuación (2).

Sin embargo, hay casos en que no se puede resolver la ecuación propuesta:

1. x -8y = e^x-y
2. x²+y² = sen (x+y)

Las soluciones generales de muchas ecuaciones diferenciales ordinarias son ecuaciones que conllevan funciones implicitamente definibles, pero no explicitables.

Derivación

Ejemplo 1

Sea la ecuación x³ + y³ = 3axy, vamos a derivar considerando y = y(x) y usando la regla de la derivada de la función compuesta.

3x²+3y²y' = 3ay + 3axy' y finalmente

y' = (ay-x² )÷(y² - ax)

Ejemplo 2

Dada la ecuación sen x + cos y = a, hallar y', se tiene

cosx + seny · y' = 0

y' = cosx ÷ sen y

Véase además

• Derivada
• Ecuación

Bibliografía

• Análisis matemático de Apostol
• Cálculo de Banach
• Análisis de Boss