Números irracionales
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Números irracionales . Son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales no periódicas. De este modo, puede definirse al número irracional como un decimal infinito no periódico.
Sumario
Número irracional
Los números irracionales surgen por la imposibilidad de resolver en Q ciertos problemas. Por ejemplo, si se quiere calcular la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1, esto no es posible hacerlo en el conjunto de los números racionales, ya que por el Teorema de Pitágoras, llamando d a la longitud buscada, se ha de cumplir que:
d2 = 12 + 12 = √2, de donde, d = √2 que no es un número racional puesto que no se puede expresar como una fracción, en otras palabras, la expresión decimal √2 tiene infinitas cifras en la parte decimal sin regularidad alguna.
El conjunto de los números irracionales se representa por I y está formado por todos los números decimales cuya parte decimal tienen infinitas cifras periódicas, es decir, por todos los números que no se pueden representar por el cociente de dos números enteros. Es inmediato que no existe ningún número que sea racional e irracional, es decir, Q C I =Ø
Números irracionales famosos
Clasificación
Números algebraicos, son aquellos que provienen de la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito de radicales libres o anidados.
En general, todas las raíces no exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos.
Números trascendentes, no pueden representarse mediante un número finito de raíces libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. El número Pi (π) (número de Arquímedes) y (e) (número de Euler) son irracionales trascendentes, puesto que no pueden expresarse mediante radicales. Los irracionales trascendentes también surgen al escribir números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva periodo definido. Por ejemplo:
0,1234567891011121314151617181920212223...
1,01001000100001000001000000100000001...
Representación en la recta real
Representar un número con infinitas cifras decimales no periódicas es imposible y por lo tanto nos tendríamos que conformar con una aproximación. De todas maneras, hay métodos geométricos que permiten representar algunos números irracionales en la recta numérica.
Los números irracionales π y e por citar algunos, se representan usando su expansión decimal ubicando en la recta aproximadamente su lugar (respetando el orden).
En el caso de algunos números irracionales como ± √2, ± √3, ± √5±,… pueden representarse exactamente en la recta mediante el uso de una regla y compás
Por ejemplo, para representar ± √2 consideramos un triángulo rectángulo equilátero de catetos 1, con uno de sus vértices en el origen de la recta (ver figura 1). Luego con un compás trazamos una circunferencia de radio la hipotenusa de dicho triángulo (que es √2). La intersección de esta circunferencia con la recta real es el número √2 a la derecha, y -√2 a la izquierda (ver figura 1). De manera análoga se puede representar ± √5. En este caso, se toma un triángulo rectángulo de catetos 1 y 2, tal como se muestra en la figura.
Figura 1
Operaciones con números irracionales
Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división no son operaciones bien definidas en los números irracionales, dados dos números irracionales no siempre la suma, resta, multiplicación o división de dichos números resulta un número irracional En cuanto a las operaciones con números irracionales es necesario tener en cuenta lo siguiente:
Sin embargo y a pesar de su extraño comportamiento tenemos dos afirmaciones que siempre son válidas:
- Si a es racional y b es irracional entonces la suma a + b siempre es irracional.
- Si a ≠ 0 es racional y b es irracional entonces el producto a · b siempre es irracional.
En virtud de estas afirmaciones podemos decir que:
- 2 + √3 es irracional.
- 2 · √5 es irracional.
- El inverso aditivo de un número irracional, también lo es.
- El inverso multiplicativo de un irracional , también lo es.
La geometría y los números irracionales
- La raíz cuadrada de 2 habría surgido de los predios de la geometría plana, al calcular la diagonal de un cuadrado y aplicar el Teorema de Pitágoras.
- En un triángulo equilátero de lado 2, la altura es la raíz cuadrada de 3; h =30.5
- Para el cuadrado l = R (2)0.5, R = radio de la circunferencia circunscrita.
- Para el pentágono regular l = 0.5R (10 -2(5)0.5)0.5
- Para el hexágono regular, l = (2÷3)r 30.5
- Para el área de un triángulo escaleno de lados a, b, y c, semiperímetro = p, la Fórmula del Herón [p(p-a)(p-b)(p-b)]0.5
- Si el volumen de un hexaedro regular (cubo) es 1; un cubo duplicado tiene volumen 2, en este caso su lado es la raíz cúbica de 2.
