Número real

Número real
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Concepto:Número racional o iraccional.

Número real. Es todo aquel número racional o bien irraccional.
Cómo conjunto númerico se identifica con el símbolo R cjto.gif y es la unión del conjunto Q cjto.gif de todos los números racionales con el conjunto de todos los números irracionales, siendo un conjunto infinito y no contable. Un número real puede ser representado por un decimal infinito periódico o aperiódico; pero en la práctica social basta, en caso pertinente, una aproximación por un decimal finito.

"La aritmética de los números reales consiste en las relaciones cuantitativas entre magnitudes continuas, estudiándolas en su forma general y haciendo completa abstracción de todas sus propiedades concretas". A. D. Alexandrov. Aparecen los números reales como respuesta a la necesidad de medir, concretamente, la longitud de un segmento. La primera dificultad surgió al calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles de cateto de longitud 1 [1].

Representación

La representación de números reales es diversa pues incluye la representación de todos los conjuntos númericos incluidos en él y además es el conjunto de más utilidad para el usuario común pues la mayoría de las operaciones, métodos de cálculo y funciones tradicionales han sido definidas sobre los reales. En la práctica operativa, los resultados se dan en decimales finitos mediante calculadora o por programas en computadora, según los requerimientos de la cuestión planteada.

A continuación se expresan algunas de las representaciones más usadas y el conjunto númerico del que provienen:

En el caso de la representación en la recta numérica es siempre preferible convertir a notación decimal para conocer su posición más exacta:

Ejemplo 3.PNG

Propiedades.

R cjto.gif como conjunto es la la unión del conjunto Q cjto.gif con los números irracionales; por lo que contiene también al resto de los conjuntos numéricos conocidos a excepción de los números complejos.

Jerarquia conjuntos numericos.gif

El conjunto de los números reales es un conjunto infinito no contable, esto es, que no se puede establecer una biyección entre el conjunto de los números reales y el conjunto de los enteros positivos, hecho que fue demostrado por Jorge Cantor, el creador de la Aritmética transfinita y de la Teoría de conjuntos; goza de la propiedad de la densidad, debido a que entre cualquiera dos reales distintos hay al menos un real entre ambos. El conjunto de los reales es equipotente con cualquier intervalo finito, en especial con <a; b>

En el conjunto de los números reales se establece la igualdad y las relaciones de orden, lo que permite decir que los números reales conforman un conjunto ordenado compatible con la adición y la multiplicación , en cierto modo. Así mismo se puede efectuar las cuatro operaciones racionales: adición, resta, multiplicación y división, excepto la división por cero. Se puede extraer raíces de índice impar de cualquier número real; lo mismo que las raíces de indice par de números reales no negativos. Se calcula el logaritmo, base cualquiera, de un número real positivo. Con los números reales se resuelve cualquier problema de medida, sea de longitud, área o volumen. Convencionalmente, definen la potencia cero de un real no nulo; sin embargo el limite cuando la base y el exponente se acercan a cero es 1; todos los irracionales son casos de límites, se podría aceptar que es posible , ver en el límite, que cero a la cero es 1. Algo parecido al quinto postulado de Euclides.

Operaciones

Totalmente definidas

En el conjunto de los números reales podemos realizar:

La adición y su inversa la sustracción ,
que en cierto modo, es un caso particular de de la adición. Se puede hallar la la suma y la diferencia de dos números reales cualesquiera, pues siempre existen y son únicas.
La adición es asociativa y conmutativa, para cualquier a, cabe a + 0 = a; para cada a real existe -a tal que -a + a =0. Por lo indicado el conjunto R de todos reales, con la adición; es un grupo abeliano.
El producto y el cociente

de dos reales siempre existen y son únicos, salvo el cociente que no existe para divisor = 0.

la multiplicación es asociativa, conmutativa; para cualquier a real, se cumple a x 1 = a; para cada a, diferente de 0, existe a* (inverso multiplicativo) tal que a x a* = 1. Con lo expuesto se ve que R\{0}, con la multiplicación es un grupo abeliano.
estas dos operaciones están vinculadas por a(b+c) = ab + ac. El grupo aditivo de lo reales, con la multiplicación, propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición, la existencia de 1, nos dice que que <R, +, x> es un anillo conmutativo unitario. [2]

El número real 1 se define, entre tantos otros procedimientos, como sigue: Sea (A, B) una cortadura de Dedekind en el conjunto ℚ de los números racionales, siendo A el conjunto de todos los números racionales ≤ 1 y B el conjunto de todos los números racionales > 1. La cortadura (A, B) define el número real 1. [3]

Parcialmente definidas

  • Potencia de un real
  • Raíz n-ésima de un real
  • Logaritmo

Estructura de cuerpo

Al igual que el sistema numérico de los números racionales, el sistema numérico de los números reales constituye un cuerpo algebraico infinito con las operaciones de la adición y la multiplicación. El elemento neutro de la adición es el 0. El opuesto de x será -x. El elemento neutro de la multiplicación es el 1. El inverso multiplicativo de todo real x, no nulo, se denota mediante x-1 o lo que es lo mismo 1 sobre x.gif.

Fuentes.

  1. Carl B. Allendoerfer, Cletus O. Oakley. Introducción moderna a la matemática superior. Ediciones del Castillo, Madrid. 1967.
  2. K. Ríbnikov. Historia de las Matemáticas. Editorial MIR, Moscú. 1987.
  3. Raúl Rodríguez Macías y coautoroes: Cálculo diferencial e integral Primera parte. Editorial Pueblo y Educación, Ciudad de La Habana (1988)
  4. Seymour Lipschutz: Teoría de conjuntos y temas afines.
  5. Tsipkin: Manual de matemáticas para enseñanza media. Editorial Mir, Moscú (1985), impreso en La URSS

Referencias y notas

  1. Platón: Teeteto Gorgias Colección autores clásicos Editorial Universo Lima, Tercera edidión 1977
  2. Estas formalizaciones resultan al aplicar el concepto de anillo o de grupo: Véase Introducción al álgebra de Kostrikin
  3. Caso particularizado para el 1 real, del libro Concepto de número de C. A, Trejo. OEA Washington, 1973