Raíz cuadrada
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La raíz cuadrada de un número es otro número, si existe, que elevado al cuadrado da el primero. Así tenemos que 35 es la raíz cuadrada de 1225, pues 352 = 1225.
Sumario
Diversos casos
Es posible generalizar este concepto a los anillos, pues en el caso de b×b, a fortiori hay conmutatividad, de modo que se puede hablar de raíz cuadrada de matrices cuadradas, polinomios, vectores de R3 etc.
Números naturales
En el caso de un número natural existe una única raíz cuadrada
- Como propiedades
- la raíz cuadrada de una suma de dos naturales no excede a la suma de las raíces cuadradas de los sumandos
- la raíz cuadrada de un producto es igual al producto de las respectivas raíces de los factores
- la raíz cuadrada de un cociente es igual al cociente de las respectivas raíces cuadradas.
- la n-ésima potencia de una raíz cuadrada es igual a la raíz cuadrada del radicando elevado a la potencia n.
- la raíz enésima de la raíz cuadrada de a es la raíz de orden 2n de a
- el logaritmo de una raíz cuadrada es igual al cociente del logaritmo del radicando entre 2.
- aproximaciones
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- por defecto, sea h un número natural y h2 < a < (h+1)2 entonces se dice que la raíz cuadrada por defecto de a es h, con error menor que una unidad. También se dice que h+1 es raíz cuadrada de a por exceso con error menor que una unidad.
- método de los babilonios
Conociendo rn una aproximación enésima de a se forma el producto a × rn÷rn = luego su media geométrica es, precisamente su raíz cuadrada, sin embargo esta no excede a la media aritmética de rn y de a/rn.
- rn+1 = (a/rn + rn)÷2 nos depara la siguiente aproximación [1]
Caso de números enteros y racionales positivos
dado el número -entero o racional, a diremos si existe, que el número b es la raíz cuadrada de a, si a = b2
- Ejemplo 17 es la raíz cuadrada de 289; pero 145 no tiene raíz cuadrada entera, para remontar esta dificultad se hacen aproximaciones. O se construye el conjunto R de los números reales.
Caso de los números reales positivos
Cualquier número real positivo x tiene dos raíces cuadradas que tiene el mismo valor absoluto.
- Ejemplo las raíces cuadradas de 2 son r1 = 1.4142... y x2 = -1.4142...
Caso de los números complejos
- Cualquier número complejo tiene dos raíces cuadradas
Números reales negativos
- Tiene dos raíces que son números imaginarios con el mismo módulo o valor absoluto
- Ejemplo las raices cuadradas de -25 son 5i,-5i.
En el caso de que el número complejo z no sea real
Para hallar su raíz cuadrada se escribe en la forma polar z= r(cos A +i sen A), entonces sus raíces cuadradas son:
- w1 = t(cos A/2 + i sen A/2)
- w2 = t(cos [A/2+180] + i sen[ A/2+ 180])
Álgebra
- En el contexto de las ecuaciones algebraicas, se puede entender la raíz cuadrada como el algoritmo para hallar los ceros de la ecuación
- y2 -a = 0,
- donde a es un elemento de cualquier sistema numérico; hay dos ceros si tal sistema constituye un anillo.
Referencias
- ↑ Kudriávtsev: Curso de Análisis Matemático, Editorial Mir, Moscú,1983
Fuentes
- Vicente Ampuero: Aritmética teórica
- Hasser y otros: Análisis matemático I
- César Trejo: Variable compleja
