Matemática en la antigüedad

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Matemática en la Antigüedad
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Matemática en la Antigüedad. Gracias a los papiros que se conservan se conoce bien la estructura y nivel alcanzados por las Matemáticas de la Antigüedad. Casi sin excepción se trata de una matemática empírica desarrollada a modo de "recetas", y que trataba de resolver problemas prácticos evidentes, tales como cuestiones de agrimensura, de cálculo de impuestos, de determinación de volumen de depósitos, etc.; problemas administrativos tratados matemáticamente y que pertenecían al ámbito de competencia de los escribas.

Historia

Desde el comienzo de la historia, las principales disciplinas matemáticas surgieron de la necesidad del hombre de hacer cálculos con el fin de controlar los impuestos y el comercio, comprender las relaciones entre los números, la medición de terrenos y la predicción de los eventos astronómicos.

Estas necesidades están estrechamente relacionadas con las principales propiedades que estudian las matemáticas — la cantidad, la estructura, el espacio y el cambio. Desde entonces, las matemáticas han tenido un profuso desarrollo y se ha producido una fructífera interacción entre las matemáticas y la ciencia, en beneficio de ambas.

Diversos descubrimientos matemáticos se han sucedido a lo largo de la historia y se continúan produciendo en la actualidad. Además de saber contar los objetos físicos, los hombres prehistóricos también sabían cómo contar cantidades abstractas como el tiempo (días, estaciones, años, etc.) Asimismo empezaron a dominar la aritmética elemental (suma, resta, multiplicación y división).

Es fácil comprobar como la inmensa mayoría de las partes de la matemática aparecen en distintos juegos:

- La Aritmética está inmersa en los cuadrados mágicos, cambios de monedas,...

- La teoría elemental de números es la base de muchos juegos de adivinación fundamentados en criterios de divisibilidad, aparece en juegos que implican diferentes sistemas de numeración,...

- La combinatoria es la pieza clave de todos los juegos en los que se pide enumerar las distintas formas de realizar una empresa. Muchos de ellos sin resolver aún, como el problema del viajante.

- El álgebra es la base de muchos acertijos a cerca de edades, medidas.

- La teoría de grupos es un instrumento de vital importancia para analizar determinados juegos con fichas en un tablero en los que, al igual que las damas, se eliminan fichas al realizar movimientos.

Comencemos ahora un breve recorrido por los distintos juegos matemáticos que han ido apareciendo a lo largo de la historia de la humanidad.

El ‘Papiro de Rhind’ o de ‘Ahmes’ (obra de la civilización egipcia, que se puede apreciar en la siguiente figura), encontrado en un antiguo edificio de Tebas, data del año 1850 A.C. Se trata de un escrito que nos muestra las matemáticas de la época. En él aparece una recopilación de varios problemas cuya resolución se realiza principalmente a través de métodos basados en prueba y error. Con él se muestra como en las matemáticas de aquella civilización ya aparecían los juegos a modo de acertijos.

Tres problemas clásicos de Grecia

  • La cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo. Los astutos cretenses se planteaban la construcción de estas tres figuras solamente empleando la regla y el compás, lo cual se ha comprobado hoy en día que es imposible.
  • La cuadratura del círculo, que por primera vez se planteó Anaxágoras consiste en fabricar un cuadrado de idéntica área a la de un círculo dado.

Hicieron falta más de dos mil años para que Ferdinand Lindeman (1852-1939) demostrara que era imposible tal construcción con regla sin marcas y compás, pues pi es un número trascendente.

  • La duplicación del cubo, reside en construir el lado de un cubo cuyo volumen sea el doble del volumen de un cubo inicial dado. Es decir, dado un cubo de arista a y volumen V, hallar la arista de un cubo de volumen 2V.

Tuvieron que pasar muchos siglos para poder probar que este problema no tenía solución en la forma que lo planteaban los griegos. Y la razón se reduce a que si empleamos coordenadas cartesianas este problema consiste en calcular x³ = 2.

El geómetra francés L. Wantzel se encargo en 1837 de demostrar en uno de sus trabajos que esta hazaña era imposible con la simple utilización de estos dos elementos.

  • La trisección del ángulo, este fue el tercer problema griego. La labor consistía en trisectar un ángulo solo con regla (no graduada) y compás.

Los propios griegos sabían que para ciertos ángulos, con unas características específicas, esto era posible. Pero en general, este problema, al igual que los dos anteriores, no tiene solución en esas condiciones. Fue el matemático francés Pierre Wantzel (1814-1848) quien probó formalmente que un ángulo w es trisecable con regla y compás si el polinomio 4x³ - 3x - cos(w) es reducible.

Del mismo modo, fue también P.L. Wantzel quien en 1837 publicó por primera vez, en una revista de matemáticas francesa, la primera prueba rigurosa sobre la imposibilidad de trisectar el ángulo con regla y compás. Aun así, sigue habiendo matemáticos que rechazan esta prueba y continúan investigando, creyendo haber llegado muchas veces a la solución del problema.

Papiro de Rhind

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Según Herodoto los egipcios son los padres de la Geometría, pero gracias a sus monumentos y sus papiros también sabemos hoy que disponían de un sistema de numeración adicional que les permitía trabajar con fracciones de una forma muy especial ya que el numerador siempre era la unidad. El papiro egipcio es menos resistente al paso del tiempo que las tablillas babilónicas. Sin embargo alguno ha llegado hasta nosotros.

Los más populares el papiro de Rhind y el de Moscú. En ellos aparece una colección de más de 100 problemas que nos brindan una valiosa información de las matemáticas egipcias. El escriba Ahmes, que escribió desde niño en el famoso Papiro de Rhind, especie de libro en el que aparecen 87 problemas matemáticos, que se supone que fueron elaborados por 2 o 3 matemáticos de la época, los egipcios, como los babilonios, también trabajaban con fracciones, con partes de la unidad.

Pero lo curioso es que  sólo utilizaban fracciones con numerador la unidad, es decir de la forma: 1/2, 1/3, 1/4, 1/7, 1/15, 1/47... Cualquier parte de la unidad la expresaban como suma de fracciones de este tipo. El papiro de Rhind contiene una tabla de conversión de partes de la unidad a estas fracciones.

Es el equivalente con más de 3.000 años de antigüedad de nuestras tablas de multiplicar, sólo que para trabajar con fracciones. Este material fue comprado por el egiptólogo inglés de apellido Rhind, a mediado del siglo XIX y adquirido posteriormente por el museo inglés donde aún se conserva, el que aparecen problemas aritméticos.

Algunos problemas del Papiro de Rhind

  • Problema 25: Una cantidad y la mitad de esta cantidad es igual a 16. ¿Cuál es esa cantidad?

La solución es inmediata si se observa qué la mitad de la cantidad es la tercera parte del total, entonces esa tercera parte es 16/3 (16:3) y la cantidad es 32/3 (el doble) En esa época no se resolvía así, sino aplicando un método más complejo de la Falsa posición y la respuesta Ahmes la daba de la forma siguiente 10+1/2+1/6 pues, en Egipto, en esa época, solo se trabajaban las fracciones de numerador 1 (= 1/8). La suma queda reducida ahora a 1/2 1/4 1/8 1/8 y después realiza sumas equivalentes para poder aplicar el método de reducción 1/ 1/4 1/8 1/8 = 1/2 1/4 1/4 = 1/2 1/2 = 1

  • Problema 26. Una cantidad y su cuarto se convierten en 15, y se pide calcular la cantidad.

Para nosotros este problema se traduce en resolver la ecuación x + 1/4x = 15. Reproducimos los pasos del papiro, y más abajo la explicación de cada uno de ellos. Ahmes escribe: "Toma el 4 y entonces se obtiene 1/4 de él en 1, en total 5" Ahmes parte en este caso de un valor estimado de x=4, el más sencillo para anular la fracción, y calcula  4+ 1/4 *4 = 5.

"Divide entre 5 15 y obtienes 3" Ahora para averiguar el valor real hay que encontrar un número N tal que al multiplicarlo por el resultado de aplicar el valor estimado nos de 15, es decir 5*N = 15, N=15/5 = 3 3. "Multiplica 3 por 4 obteniendo 12" El valor buscado es el resultado de multiplicar la N anterior por el valor estimado inicial, esto es 3 * 4 que es la cantidad buscada.

Ahmes sigue después: "cuyo (referido al 12 anterior) 1/4 es 3, en total 15"

  • Problema 31. Literalmente dice: "Una cantidad, sus 2/3, su 1/2, su 1/7, su totalidad asciende a 33"

Para nosotros esto significa una ecuación 2x/ 3 + x/2 + x/7 + x = 33, x=cantidad Ahmes resuelve el problema mediante complicadas operaciones de división.

  • Problema 79: Había una propiedad compuesta por 7 casas, cada casa tenía 7 gatos, cada gatos se comía 7 ratones, cada ratón se comía 7 granos de cebada, cada grano había producido 7 medidas ¿Cuánto sumaba todo esto?
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El papiro de Moscú

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También conocido como Papiro Golenischev es casi tan largo como el Papiro Rhid pero tan sólo de unos siete centímetros de ancho. Está escrito por un escriba desconocido de la dinastía XII (sobre 1890 a.C.) y fue comprado en Egipto en el año 1893, conservándose en Moscú, de ahí el nombre. Se trata de una colección de veinticinco problemas resueltos, sobre cuestiones cotidianas, que no se diferencian mucho de los de Ahmés.

Compuesto en forma más descuidada que el anterior hay sin embargo dos problemas geométricos que revisten una importancia especial: En el problema 10 el escriba pide el área de una superficie de lo que parece ser una cesta semiesférica de diámetro 4 1/2, y procede a calcularla, resultado sorprendente para la época. Otros análisis del problema sugieren que podría tener una interpretación más sencilla y tratarse de la estimación del área de una superficie semicilíndrica de longitud y diámetro 4 1/2.

El número 14 presenta una figura que parece representar un trapecio, pero los cálculos asociados indican que en realidad se trata de un tronco de pirámide cuyo volumen calcula.

Fuentes

  • Campistrous y Rizo, "Aprende a resolver problemas aritméticos aritméticos". Editorial Pueblo y Educación, 1996.
  • Newman, James R., "Sigma. El mundo de las Matemáticas", Vol. 1, Ed. Grijalbo, Barcelona, 1985.
  • Boyer, Carl B., "Historia de la Matemática", Alianza Universidad Textos; Madrid, 1987.
  • Wussing y Arnold, "Biografías de grandes matemáticos", Ed. Universidad de Zaragoza; Zaragoza, 1989

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