Transformada de Fourier
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Transformada de Fourieres una operación matemática fundamental para algunas disciplinas como las telecomunicaciones o la física. Sin ella no existirían las telecomunicaciones modernas, no solo Internet o la telefonía móvil, sino la propia telefonía convencional, que no habría podido evolucionar más allá de una forma de comunicación local y no habrían existido las llamadas de larga distancia.
Sumario
Historia
En 1821, Fourier afirmó que cualquier función, ya sea continua o discontinua, puede expandirse en una serie de senos. Ese importante trabajo fue corregido y ampliado por otros para sentar las bases de las diversas formas de la transformada de Fourier utilizadas desde entonces.
En el proceso se simplificó el producto utilizando la forma polar, y llama la la facilidad con la que se dedujo la forma rectangular mediante una aplicación de la fórmula de Euler.
Aunque debe su nombre al matemático Joseph Fourier, muchos han contribuido a su invención, entre ellos Euler, Bernoulli, Lagrange y Gauss. Fourier tuvo un papel esencial, al inventar las series, donde una función periódica se podía descomponer en la suma de funciones trigonométricas. La transformada de Fourier generaliza este concepto.
Esta transformada se consigue aplicando una fórmula matemática a una función. Aunque esta fórmula es matemática ‘avanzada’. Requiere el nivel de segundo de bachillerato y exige saber resolver integrales y comprender funciones complejas en forma polar.
Definición
La transformada de Fourier es una transformación matemática usada para transformar señales entre el dominio del tiempo o espacio al dominio de la frecuencia, y viceversa. El concepto de ‘transformada de Fourier’ se refiere a varios conceptos de forma simultánea:
- Operación de transformación de una función.
- Función resultado de la operación.
- Espectro de frecuencias de una función.
La función original suele recibir el nombre de x(t), siendo muy común que ‘t’ sea el tiempo, mientras que la función transformada suele recibir el nombre de X(f), en mayúscula, siendo ‘f’ la frecuencia.
Como ejemplo, si se tiene una función p(t) donde ‘p’ es la potencia de una señal acústica y t el tiempo, P(f) es una transformada de Fourier que informa de cómo se distribuye p(t) en función de la frecuencia la potencia de la señal.
En otro ejemplo, si e(s) informa sobre la energía de una señal en función del espacio, E(f) es una transformada de Fourier que informa sobre cómo se distribuye e(s) en función de la frecuencia de la energía de la señal.
Es importante destacar que aunque el tiempo, el espacio y la frecuencia son valores reales, tanto x(t) y x(s) como sus respectivas transformadas X(f) no tienen por qué tomar valores reales. En los ejemplos de potencia y energía es posible que las magnitudes tengan elementos complejos.
Frecuencia de una función no periódica
Si e(t) es una función periódica (función que se repite), es fácil pensar en los conceptos inversos ‘frecuencia’ y ‘periodo’. Aunque a menudo surge la duda de cuál puede ser la frecuencia de una señal no periódica. ¿Qué frecuencia tienen x(t) = 1 o e(s) = ?x + 1?
El concepto de frecuencia de la transformada de Fourier no tiene por qué guardar relación con la inversa del periodo de la función original, sino con la brusquedad o rapidez de los cambios en los valores de x(t) o e(s).
Sobre el cálculo
Para su cálculo es necesario aprender a integrar múltiplos de funciones complejas con anterioridad.
Para obtener la transformada es importante tener presente varios puntos importantes:
- La integral actúa sobre ‘t’ (‘s’, si la función original depende del espacio), de modo que la frecuencia ‘f’ debe ser tratada como si fuese una constante. De hecho, el exponente ‘-j2?f’ es una constante.
- Si la función original existe entre dos valores reales a y b, la primitiva de la integral se resuelve entre esos valores reales.
- Definir el producto escalar entre funciones como el producto escalar entre la función x ( t ) x(t) y la exponencial compleja e i 2 π f t e^Plantilla:I2\pi \,ft evaluado sobre todo el rango de frecuencias f f. Por la interpretación usual del producto escalar, en aquellas frecuencias en las que la transformada tiene un valor mayor, más parecido tiene x ( t ) x(t) con una exponencial compleja.
Aplicaciones
Sin entrar a valorar las matemáticas detrás de ellas, lo que permite la transformada de Fourier es convertir cualquier función matemática a otro domino, denominado el dominio de la frecuencia. Esto facilita tratar y analizar las funciones de una forma alternativa. Por ejemplo: Un ingeniero de sonido puede tener una grabación de audio con mucho ruido, porque había un pitido en el ambiente. Estos ruidos muchas veces pueden eliminarse, pero para ello habría que separar la parte del sonido deseada y la que se quiere eliminar. Esta separación muchas veces es imposible por métodos convencionales, ya que la señal que se tiene está ya sumada, y sin saber una de las partes es imposible eliminar la otra.
La transformada de Fourier tiene muchas aplicaciones en ingeniería, medicina o telecomunicaciones. Uno de los ejemplos más usados es la transformación de señales de potencia y energía de cara al envío de información por cables u ondas. Esta transformación permite la ocupación de todo el espectro radioeléctrico.
En acústica, las transformadas de Fourier tienen diferentes usos, desde comprimir audio a limpiar el ruido de archivos. La compresión de archivos usando este tipo de fórmulas también se usa en archivos como imágenes o videos; no tiene por qué ser de audio.
En ingeniería civil es frecuente el uso de estas transformadas para calcular el comportamiento de grandes estructuras, como puentes, ante fuerzas de alta energía como el viento. Además, en los últimos años ha surgido una nueva aplicación: el reconocimiento de voz, una tecnología que abre las puertas a la identificación biométrica por sonido.
Enlaces externos
- La transformada de Fourier de forma sencilla. Consultado el 23 de agosto de 2023.
Fuentes
- https://www.xataka.com/otros/alguien-ha-hecho-video-perfecto-para-todos-que-sufrimos-intentando-entender-transformada-fourier
- https://www.nobbot.com/que-es-la-transformada-de-fourier-y-para-que-sirve/
- https://dcb.ingenieria.unam.mx/wp-content/themes/tempera-child/CoordinacionesAcademicas/CA/MA/MaterialDigital/materialT3.pdf
