Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras Concepto: relaciona los tres lados de un triángulo rectángulo, y que establece que el cuadrado del lado mayor (hipotenusa) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (catetos).

Teorema de Pitágoras, teorema que relaciona los tres lados de un triángulo rectángulo, y que establece que el cuadrado del lado mayor (hipotenusa) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (catetos).

c²=a²+b²

Historia

El Teorema de Pitágoras fue descubierto aproximadamente en el año 500 a.n.e y lleva este nombre porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagórica

Aplicaciones

El teorema de Pitágoras tiene numerosas aplicaciones, como el cálculo de la medida de los lados de un triángulo o de magnitudes en otros polígonos.

Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto

A partir de la expresión general del teorema de Pitágoras, despejamos los catetos a y b: Si c2=a2+b2 tenemos que

y

Reconocimiento de triángulos rectángulos.

Un triángulo es rectángulo si sus lados verifican la relación del teorema de Pitágoras. Si c² ≠ a² + b², entonces puede ocurrir que:

• c² > a² + b², el área del cuadrado sobre la hipotenusa es mayor que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. El triángulo es obtusángulo.
• c² < a² + b², el área del cuadrado sobre la hipotenusa es menor que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. El triángulo es acutángulo.

Aplicaciones en Geometría

Geométricamente, el teorema de Pitágoras quiere decir que si dibujamos tres cuadrados, de forma que cada uno tenga el lado igual a uno de los tres lados de un triángulo rectángulo, se cumple que el área del cuadrado mayor es igual a la suma de las áreas de los otros dos.

Comprensión del teorema

Ahora bien, ¿esto ocurre solamente si la figura que dibujamos es un cuadrado o pasa también con otras? En concreto, si tenemos un triángulo rectángulo y dibujamos tres semicírculos cuyos diámetros son los tres lados del triángulo, ¿hay alguna relación entre las áreas de esos semicírculos?

Demostración del teorema

El radio de cada uno de los semicírculos es la mitad del lado correspondiente, por lo que sus áreas son:

y de igual forma:

y

Sumando las áreas:

puesto que al ser el triángulo rectángulo se cumple que c²=a²+b²

Luego se verifica la igualdad de áreas con semicírculos.

Demostraciones

El Teorema de Pitágoras es de los que cuentan con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Las demostraciones están divididas en cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde se relacionan los lados y segmentos del triángulo; geométricas, en las que se realizan comparaciones de áreas; dinámicas a través de las propiedades de fuerza, masa; y las cuaterniónicas, mediante el uso de vectores.

Fuentes

• Geometría en Kalipedia.com Consultado 30 septiembre de 2010
• Microsoft ® Encarta ® 2007. © 1993--2006 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.
• TEOREMA DE PITÁGORAS Consultado 30 septiembre de 2010
• Teorema de Pitágoras - Wikipedia Consultado 1 octubre de 2010