Diferencia entre revisiones de «Usuaria discusión:Lieter pedagogico.cfg»
(Página creada con '{{Definición |nombre= La axiomática en el tratamiento de los contenidos geométricos |imagen= |tamaño= |concepto= Tiene como propósito exponer criterios sobre la estructurac...') |
|||
| Línea 13: | Línea 13: | ||
[[Axiomas]] o [[postulados]] son proposiciones que se suponen verdaderas y que forman un sistema a partir del cual se construye una [[teoría científica]]. | [[Axiomas]] o [[postulados]] son proposiciones que se suponen verdaderas y que forman un sistema a partir del cual se construye una [[teoría científica]]. | ||
| − | + | Curiosidad histórica. IV Siglo a.n.e | |
El gran geómetra [[Euclides de Alejandría]], quien dio inicio al [[procedimiento axiomático]], en su famosa obra llamada “elementos” reservó el término [[axioma]] para las nociones evidentes no específicas en la [[geometría]] y el de [[postulado]] para las proposiciones de [[naturaleza geométrica]]. Fue esta la única diferencia que estableció entre [[axioma y postulado]]. | El gran geómetra [[Euclides de Alejandría]], quien dio inicio al [[procedimiento axiomático]], en su famosa obra llamada “elementos” reservó el término [[axioma]] para las nociones evidentes no específicas en la [[geometría]] y el de [[postulado]] para las proposiciones de [[naturaleza geométrica]]. Fue esta la única diferencia que estableció entre [[axioma y postulado]]. | ||
| − | Para desarrollar una teoría cualquiera es necesario hacerlo con un [[lenguaje específico]], es decir, para describir hechos, fenómenos y propiedades de una teoría se tienen que emplear vocablos correspondientes a diferentes | + | Para desarrollar una teoría cualquiera es necesario hacerlo con un [[lenguaje específico]], es decir, para describir hechos, fenómenos y propiedades de una teoría se tienen que emplear vocablos correspondientes a diferentes conceptos, pero en el ordenamiento de estos conceptos dentro de la teoría, algunos de ellos se encuentran al inicio de la misma. Estos conceptos iniciales o primarios no se definen, pues tratar de hacerlo sería un error ya que tendría que emplear términos de la propia teoría que aún no están definidos. Los conceptos que no se definen en una teoría se denominan conceptos primarios o básicos de dicha teoría. |
== Conceptos básicos == | == Conceptos básicos == | ||
| Línea 26: | Línea 26: | ||
En resumen, el primer paso en la construcción axiomática de una teoría consiste en precisar los conceptos primarios o básicos de dicha teoría. | En resumen, el primer paso en la construcción axiomática de una teoría consiste en precisar los conceptos primarios o básicos de dicha teoría. | ||
| − | + | Curiosidad histórica: | |
| − | En los | + | En los elementos de [[Euclides]] no aparece ninguna relación de términos sin definir, sino que por el contrario se intenta definir todos los términos empleados, por ejemplo: El punto es aquello que no tiene partes. |
| − | Después de establecer los | + | Después de establecer los conceptos básicos se determinan todas las proposiciones que se suponen verdaderas, es decir, para las que no se dan demostraciones, estas proposiciones son los [[postulados o axiomas]] del [[sistema]]. Dichas proposiciones expresan las propiedades principales de los conceptos básicos, relacionan los conceptos básicos entre sí y deben ser de estructura simple y pocos en número. Los términos empleados en los axiomas corresponden a conceptos básicos o a conceptos que fueron definidos sobre los básicos. |
El segundo paso en la [[construcción axiomática]] de una teoría consiste en establecer un conjunto de proposiciones iniciales que no se demuestran, llamadas [[axiomas]]. | El segundo paso en la [[construcción axiomática]] de una teoría consiste en establecer un conjunto de proposiciones iniciales que no se demuestran, llamadas [[axiomas]]. | ||
| − | Una vez establecidos los | + | Una vez establecidos los conceptos básicos y el [[sistema de axiomas]], entonces se procede a desarrollar el [[sistema]], esto es deducir las consecuencias lógicas de los [[axiomas]]. Estas consecuencias son los [[teoremas]] del [[sistema]], los cuales combinándose entre sí dan lugar a nuevos [[teoremas]]. En los razonamientos se tienen en cuenta las definiciones de los distintos conceptos que van apareciendo como combinación de los primarios y de los que se definieron anteriormente. |
| − | En una [[construcción axiomática]] rigurosa de una | + | En una [[construcción axiomática]] rigurosa de una teoría, cada proposición no contenida en los [[axiomas]] debe ser demostrada, por más evidente que parezca, no debe haber cabida para la intuición. |
| − | + | Curiosidad histórica: | |
El alemán [[David Hilbert]] publicó en [[1899]] en su [[Fundamentos de la Geometría]] un [[sistema de axiomas]] sobre la base del cual se pueden obtener todos los [[teoremas]] de la [[geometría euclideana]] por una vía puramente lógica dando paso definitivo hacia la [[Moderna Geometría Axiomática]]. | El alemán [[David Hilbert]] publicó en [[1899]] en su [[Fundamentos de la Geometría]] un [[sistema de axiomas]] sobre la base del cual se pueden obtener todos los [[teoremas]] de la [[geometría euclideana]] por una vía puramente lógica dando paso definitivo hacia la [[Moderna Geometría Axiomática]]. | ||
| Línea 48: | Línea 48: | ||
*Compatibilidad: (Libertad de contradicción o consistencia) Esta exigencia consiste en que el [[sistema de axiomas]] no puede concluir por deducción lógica a una proposición y a su vez a la negación de la misma, es decir, una proposición p y su negación p no pueden ser ambas demostrables en dicho sistema. Los sistemas no compatibles, llamados incompatibles, conducen a contradicciones por lo que carecen de interés; de ello la importancia decisiva y la obligatoriedad del cumplimiento de este requerimiento. | *Compatibilidad: (Libertad de contradicción o consistencia) Esta exigencia consiste en que el [[sistema de axiomas]] no puede concluir por deducción lógica a una proposición y a su vez a la negación de la misma, es decir, una proposición p y su negación p no pueden ser ambas demostrables en dicho sistema. Los sistemas no compatibles, llamados incompatibles, conducen a contradicciones por lo que carecen de interés; de ello la importancia decisiva y la obligatoriedad del cumplimiento de este requerimiento. | ||
| − | *Independencia: (Minimalidad) Un [[axioma]] de un [[sistema]] se dice que es independiente del resto, si el mismo no puede ser demostrado como [[teorema]] utilizando los restantes [[axiomas]]. Si en un [[sistema axiomático]] todos los [[axiomas]] son independientes, entonces se dice que el | + | *Independencia: (Minimalidad) Un [[axioma]] de un [[sistema]] se dice que es independiente del resto, si el mismo no puede ser demostrado como [[teorema]] utilizando los restantes [[axiomas]]. Si en un [[sistema axiomático]] todos los [[axiomas]] son independientes, entonces se dice que el sistema es [[independiente o minimal]]. |
Esta característica es deseable, pero no constituye defecto muy importante que un [[sistema]] contenga [[axiomas dependientes]], llamados por algunos autores redundantes. Este requerimiento es obviado generalmente en la [[enseñanza]] por [[razones didácticas]]. La mayoría de las veces se consideran [[sistemas axiomáticos no minimales]]. | Esta característica es deseable, pero no constituye defecto muy importante que un [[sistema]] contenga [[axiomas dependientes]], llamados por algunos autores redundantes. Este requerimiento es obviado generalmente en la [[enseñanza]] por [[razones didácticas]]. La mayoría de las veces se consideran [[sistemas axiomáticos no minimales]]. | ||
| − | + | Curiosidad histórica: | |
| − | Los intentos para demostrar que V postulado de [[Euclides]] empezaron desde el [[siglo IV a.n.e]] y fueron continuados por [[matemáticos]] de renombre hasta el [[siglo XIX]], el fracaso de varios intentos estableció con firmeza la fama de [[Euclides]] y, lo más importante condujo a la invención de | + | Los intentos para demostrar que V postulado de [[Euclides]] empezaron desde el [[siglo IV a.n.e]] y fueron continuados por [[matemáticos]] de renombre hasta el [[siglo XIX]], el fracaso de varios intentos estableció con firmeza la fama de [[Euclides]] y, lo más importante condujo a la invención de nuevas geometrías. |
| − | *Completitud: Se dice que un [[sistema axiomático]] compatible es lógicamente completo si al añadir al [[sistema un axioma]] más, este es o bien innecesario porque es una consecuencia de los otros o bien es inaceptable porque el | + | *Completitud: Se dice que un [[sistema axiomático]] compatible es lógicamente completo si al añadir al [[sistema un axioma]] más, este es o bien innecesario porque es una consecuencia de los otros o bien es inaceptable porque el sistema es completo si los [[axiomas]] que lo forman son suficientes para deducir todos los demás conceptos y [[teoremas]] de la teoría en cuestión. |
==Aspectos en la selección de los axiomas de un sistema== | ==Aspectos en la selección de los axiomas de un sistema== | ||
| − | *La fecundidad de los resultados que se obtienen a partir del | + | *La fecundidad de los resultados que se obtienen a partir del sistema y la facilidad para su demostración. |
| − | *La comprobación de los [[resultados científicos]] que se obtienen a partir del | + | *La comprobación de los [[resultados científicos]] que se obtienen a partir del sistema, mediante los resultados que obtiene el hombre en su quehacer práctico y en su experiencia. |
*El perfil de las personas para las cuales será objeto de estudio. | *El perfil de las personas para las cuales será objeto de estudio. | ||
| Línea 95: | Línea 95: | ||
Obsérvese que con este enunciado se deja abierto el problema de la continuidad; en este momento sólo puede garantizarse el cumplimiento del [[axioma]] de [[Arquímedes]] [[(números fraccionarios)]], pero no el de Cantor. Más adelante, cuando se introduzcan los números reales, la misma propiedad garantiza la continuidad sin necesidad de discusiones que en este momento resultan difíciles. | Obsérvese que con este enunciado se deja abierto el problema de la continuidad; en este momento sólo puede garantizarse el cumplimiento del [[axioma]] de [[Arquímedes]] [[(números fraccionarios)]], pero no el de Cantor. Más adelante, cuando se introduzcan los números reales, la misma propiedad garantiza la continuidad sin necesidad de discusiones que en este momento resultan difíciles. | ||
| − | No constituye objetivo que los niños de la [[enseñanza primaria]] reconozcan que estos enunciados son [[axiomas]], pero sí que aprendan sus contenidos mediante la realización de [[ejercicios]] que les permitan reconocer estas proposiciones iniciales sobre los | + | No constituye objetivo que los niños de la [[enseñanza primaria]] reconozcan que estos enunciados son [[axiomas]], pero sí que aprendan sus contenidos mediante la realización de [[ejercicios]] que les permitan reconocer estas proposiciones iniciales sobre los conceptos básicos de la [[Geometría]]. |
Revisión del 12:18 30 oct 2012
| ||||
Los sustentos axiomáticos de la estructuración de los contenidos geométricos que se imparten en la escuela primaria, con el propósito de divulgar estos fundamentos teóricos se exponen algunos aspectos teóricos sobre una construcción axiomática, así como el sistema de axiomas.
Sumario
Axioma
Nació con la filosofía antigua, antes de nuestra era. También, desde aquel entonces, surgió en las matemáticas un término que actualmente en la ciencia moderna se utiliza como sinónimo de axioma, se trata del vocablo postulado, que proviene del latín “postulatum” y significa cosa requerida. La diferenciación entre estos términos tiene su origen en la filosofía antigua: por axiomas se entienden los principios lógicos de partida y por postulados los principios iniciales de una teoría científica especial. Específicamente en las matemáticas, por axioma se entendía una verdad tan evidente por sí misma que se admite como tal porque está de acuerdo con la experiencia, considerándose como diferencia que el postulado expresa una propiedad más compleja que el axioma, es decir, la verdad correspondiente al postulado “dan deseos de demostrarla”. Pero, esta diferencia es muy relativa, y muy difícil de establecer, lo que muchos aceptan como completamente evidente, para otros tiene que ser demostrado. Por esto la ciencia moderna hace sinónimos los términos de axioma y postulado, aunque el término axioma es el más utilizado.
Axiomas o postulados son proposiciones que se suponen verdaderas y que forman un sistema a partir del cual se construye una teoría científica. Curiosidad histórica. IV Siglo a.n.e
El gran geómetra Euclides de Alejandría, quien dio inicio al procedimiento axiomático, en su famosa obra llamada “elementos” reservó el término axioma para las nociones evidentes no específicas en la geometría y el de postulado para las proposiciones de naturaleza geométrica. Fue esta la única diferencia que estableció entre axioma y postulado.
Para desarrollar una teoría cualquiera es necesario hacerlo con un lenguaje específico, es decir, para describir hechos, fenómenos y propiedades de una teoría se tienen que emplear vocablos correspondientes a diferentes conceptos, pero en el ordenamiento de estos conceptos dentro de la teoría, algunos de ellos se encuentran al inicio de la misma. Estos conceptos iniciales o primarios no se definen, pues tratar de hacerlo sería un error ya que tendría que emplear términos de la propia teoría que aún no están definidos. Los conceptos que no se definen en una teoría se denominan conceptos primarios o básicos de dicha teoría.
Conceptos básicos
- Los que se refieren a elementos que se suponen pertenecen a determinados conjuntos.
- Los que se refieren a las relaciones que se establecen entre los elementos de los conceptos anteriores.
En resumen, el primer paso en la construcción axiomática de una teoría consiste en precisar los conceptos primarios o básicos de dicha teoría.
Curiosidad histórica: En los elementos de Euclides no aparece ninguna relación de términos sin definir, sino que por el contrario se intenta definir todos los términos empleados, por ejemplo: El punto es aquello que no tiene partes.
Después de establecer los conceptos básicos se determinan todas las proposiciones que se suponen verdaderas, es decir, para las que no se dan demostraciones, estas proposiciones son los postulados o axiomas del sistema. Dichas proposiciones expresan las propiedades principales de los conceptos básicos, relacionan los conceptos básicos entre sí y deben ser de estructura simple y pocos en número. Los términos empleados en los axiomas corresponden a conceptos básicos o a conceptos que fueron definidos sobre los básicos.
El segundo paso en la construcción axiomática de una teoría consiste en establecer un conjunto de proposiciones iniciales que no se demuestran, llamadas axiomas.
Una vez establecidos los conceptos básicos y el sistema de axiomas, entonces se procede a desarrollar el sistema, esto es deducir las consecuencias lógicas de los axiomas. Estas consecuencias son los teoremas del sistema, los cuales combinándose entre sí dan lugar a nuevos teoremas. En los razonamientos se tienen en cuenta las definiciones de los distintos conceptos que van apareciendo como combinación de los primarios y de los que se definieron anteriormente.
En una construcción axiomática rigurosa de una teoría, cada proposición no contenida en los axiomas debe ser demostrada, por más evidente que parezca, no debe haber cabida para la intuición.
Curiosidad histórica: El alemán David Hilbert publicó en 1899 en su Fundamentos de la Geometría un sistema de axiomas sobre la base del cual se pueden obtener todos los teoremas de la geometría euclideana por una vía puramente lógica dando paso definitivo hacia la Moderna Geometría Axiomática.
Teoría por el método axiomático
Consiste esencialmente en fijar un conjunto de conceptos básicos y un sistema de axiomas que permitan deducir las restantes proposiciones verdaderas de dicha teoría.
Un sistema axiomático exige determinados requerimientos:
- Compatibilidad: (Libertad de contradicción o consistencia) Esta exigencia consiste en que el sistema de axiomas no puede concluir por deducción lógica a una proposición y a su vez a la negación de la misma, es decir, una proposición p y su negación p no pueden ser ambas demostrables en dicho sistema. Los sistemas no compatibles, llamados incompatibles, conducen a contradicciones por lo que carecen de interés; de ello la importancia decisiva y la obligatoriedad del cumplimiento de este requerimiento.
- Independencia: (Minimalidad) Un axioma de un sistema se dice que es independiente del resto, si el mismo no puede ser demostrado como teorema utilizando los restantes axiomas. Si en un sistema axiomático todos los axiomas son independientes, entonces se dice que el sistema es independiente o minimal.
Esta característica es deseable, pero no constituye defecto muy importante que un sistema contenga axiomas dependientes, llamados por algunos autores redundantes. Este requerimiento es obviado generalmente en la enseñanza por razones didácticas. La mayoría de las veces se consideran sistemas axiomáticos no minimales.
Curiosidad histórica: Los intentos para demostrar que V postulado de Euclides empezaron desde el siglo IV a.n.e y fueron continuados por matemáticos de renombre hasta el siglo XIX, el fracaso de varios intentos estableció con firmeza la fama de Euclides y, lo más importante condujo a la invención de nuevas geometrías.
- Completitud: Se dice que un sistema axiomático compatible es lógicamente completo si al añadir al sistema un axioma más, este es o bien innecesario porque es una consecuencia de los otros o bien es inaceptable porque el sistema es completo si los axiomas que lo forman son suficientes para deducir todos los demás conceptos y teoremas de la teoría en cuestión.
Aspectos en la selección de los axiomas de un sistema
- La fecundidad de los resultados que se obtienen a partir del sistema y la facilidad para su demostración.
- La comprobación de los resultados científicos que se obtienen a partir del sistema, mediante los resultados que obtiene el hombre en su quehacer práctico y en su experiencia.
- El perfil de las personas para las cuales será objeto de estudio.
Existen diferentes sistemas de axiomas que permiten deducir las restantes proposiciones de la misma teoría, es decir, sistemas diferentes pueden emplearse para construir una misma teoría.
El curso de Geometría de la escuela primaria, desde el curso 1987, está estructurado sobre la base de un sistema de axioma, propuesto por la Dra. Celia Rizo Cabrera en su tesis doctoral. A continuación se presenta dicho sistema:
- Axiomas de incidencia:
Por dos puntos puede trazarse una sola recta. La recta tiene infinitos puntos y hay infinitos puntos que no pertenecen. Tres puntos no alineados determinan un único plano.
- Axiomas de orden: Existen dos órdenes totales opuestos en cada recta.
La recta no tiene primero ni último elemento.
Cada recta divide al plano en dos semiplanos tales que el segmento que une dos puntos de un semiplano (ninguno de los dos está en la recta) no intersecta a la recta y el segmento que une dos puntos de distintos semiplanos intersecta a la recta.
- Axiomas de congruencia
Todo segmento tiene una longitud determinada (positiva). Si C es un punto del segmento AB entonces la longitud de AB es la suma de las longitudes de AC y BC.
Cada ángulo tiene una amplitud positiva determinada. El ángulo llano tiene una amplitud de 180 y si el rayo c está entre los lados del ángulo(a, b) entonces la amplitud del ángulo(a, b) es la suma de las amplitudes de los ángulos(a, c) y (c, b).
Todo segmento se puede transportar de manera unívoca sobre una semirrecta a partir de su origen.
Todo ángulo se puede transportar de manera unívoca sobre un semiplano dado a partir de una semirrecta dada. Existe la mediatriz de todo segmento y la bisectriz de cada ángulo. Los segmentos y ángulos simétricos son congruentes.
- Paralelismo: Por un punto exterior a una recta puede trazarse una única paralela a esa recta.
- Continuidad: Para todo número positivo existe un segmento de esa longitud y viceversa.
Obsérvese que con este enunciado se deja abierto el problema de la continuidad; en este momento sólo puede garantizarse el cumplimiento del axioma de Arquímedes (números fraccionarios), pero no el de Cantor. Más adelante, cuando se introduzcan los números reales, la misma propiedad garantiza la continuidad sin necesidad de discusiones que en este momento resultan difíciles. No constituye objetivo que los niños de la enseñanza primaria reconozcan que estos enunciados son axiomas, pero sí que aprendan sus contenidos mediante la realización de ejercicios que les permitan reconocer estas proposiciones iniciales sobre los conceptos básicos de la Geometría.
Concepto de congruencia
Se inicia de manera intuitiva desde el primer grado cuando se introduce el centímetro como medida de longitud. En este grado al comparar las longitudes de segmentos se está reconociendo lo planteado en el axioma de congruencia: cada segmento tiene una longitud determinada.
Axioma de paralelismo
Está implícito en el tratamiento de las relaciones de posición entre rectas que se aborda desde tercer grado. Lo referido al axioma de continuidad, aunque abierto, queda expresado en la exigencia de los ejercicios de medición y trazado de segmentos con una longitud dada.
La Geometría que se aborda en la asignatura Matemática de la enseñanza primaria está estructurada sobre una base axiomática, de ahí la necesidad de que los maestros tengan un conocimiento de la estructuración axiomática – deductiva de la Geometría, a pesar de que su tratamiento tenga un carácter intuitivo operativo.
Bibliografía
- BARCIA MARTÍNEZ, ROBERT. La preparación geométrica de los estudiantes de la Licenciatura en Educación Primaria. - - 159h. - - Tesis Doctoral.- - Universidad “Carlos Rafael Rodríguez”, Cienfuegos, 2000
- BARCIA MARTÍNEZ, ROBERT. Geometría para maestros primarios. Primera parte.-- La Habana : Ed. Pueblo y Educación, 1988. - -282p
- RIZO CABRERA, CELIA. Estructuración del curso de Geometría de cuarto a sexto grados basados en las transformaciones y la congruencia. - - 384h. - - Tesis Doctoral. - - Instituto Central de Ciencias Pedagógicas, La Habana, 1987.
Fuentes
BARCIA MARTÍNEZ, ROBERT. La axiomática en el tratamiento de los contenidos geométricos que se abordan en la escuela primaria / Hildelisa Sardiñas Pérez.--Cienfuegos: Universidad de Ciencias Pedagógicas "Conrado Benítez García", 2010.
