Élie Joseph Cartan
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Élie Joseph Cartan . Importante matemático francés del siglo XX.
Síntesis biográfica
Nació el 9 de abril de 1869 en Dolomieu, territorio perteneciente a la Saboya francesa, cerca de cerca de Chambéry. De origen humilde, hijo del herrero del pueblo. Realizó sus estudios primarios en la escuela de Dolomieu, después continuó en el colegio de Vienne y posteriormente en el liceo de Grenoble. Finalmente entró en el liceo Jeanson-de-Sailly para completar su preparación para la Escuela Normal Superior, donde ingresa en 1888. Siguió las enseñanzas de insignes matemáticos de la época, entre otros, H. Poincaré, E. Picard y C. Hermite]], disfrutando de una beca de la Fundación Peccot. Luego de obtener su doctorado en 1894]], se desempeñó como profesor en las universidades de [[Montpellier (1894-1896), Lyon (1896-1903), Nancy (1903-1909]]) y París]] (1909-1942)
El año 1903 que es nombrado profesor en la Facultad de Ciencias de Nancy, se casa en Lyon con Marie-Louise Bianconi. Sería en Nancy donde nacerían sus dos hijos mayores, Henri (1904) y Jean (1906), convirtiéndose también el primero de ellos en un excelente matemático.
Cartan se suma a la teoría de grupos continuos iniciada por Marius Sophus Lie (1842-1899). Su tesis doctoral de 1894 fue una contribución importancia a las álgebras de Lie, y en ella completa la clasificación de las álgebras semisimples que Wilhelm Karl Joseph Killing (1847-1923) había prácticamente encontrado. Posteriormente se volcó en la teoría de las álgebras asociativas e investigó la estructura de estas álgebras sobre los cuerpos de los números reales y complejos. Wedderburn completaría el trabajo de Cartan en este área.
Las representaciones de los grupos de Lie semisimples también atrajeron su atención. Su trabajo es una síntesis asombrosa de teoría de Lie, geometría clásica, geometría diferencial y topología, que se encuentra a lo largo de toda la obra de Cartan. También aplicó el álgebra de Grassmann a la teoría de las formas diferenciales exteriores.
Hacia 1904, Cartan se vuelca en el estudio de las ecuaciones diferenciales, y desde 1916 su investigación está centrada en la geometría diferencial, área en la que publica la mayoría de sus trabajos.
Muere el [[6 de mayo de [[1951 en París.
Principales aportes
Según su propia opinión, el tema principal de sus trabajos fue la teoría de grupos de Lie. Comenzó trabajando sobre el material fundacional de las álgebras de Lie simples complejas, ordenando el trabajo previo de [[Engel y [[Killing. Este resultó en la clasificación definitiva, con la identificación de las cuatro familias principales y de los cinco casos excepcionales. Introdujo el concepto de grupo algebraico.
Definió la noción general de forma diferencial antisimétrica, en el estilo ahora usado; su enfoque a los grupos de Lie con las ecuaciones de Maurer-Cartan requería 2-formas para su determinación. En aquella época, lo qué fueron llamados sistemas de Pfaff (es decir ecuaciones diferenciales de primer orden dadas como 1-formas) estaban en uso general; la introducción de las variables nuevas para las derivadas, y formas adicionales, permitieron la formulación muy general de los sistemas de EDP (ecuaciones diferenciales parciales).
Cartan agregó la derivada exterior como operación enteramente geométrica e independiente de las coordenadas, lo que conduce naturalmente a la necesidad de discutir p-formas, de grado general p. Cartan reconoció la influencia recibida de la teoría general de Riquier de EDP.
A partir de estos elementos básicos - Grupos de Lie y formas diferenciales - produjo un gran cantidad de resultados de investigación y también algunas técnicas generales, que fueron incorporados gradualmente en la corriente principal de la matemática.
Áreas de las matemáticas que aborda
En su obra Travaux, aborda el análisis de 15 áreas de las matemáticas
- Teoría de equivalencia.
- Los conjuntos integrables, teoría de prolongación y de los sistemas en involución.
- Los grupos y pseudogrupos infinito-dimensionales. Los grupos de Lie.
- Las representaciones de grupos de Lie.
- Los números hipercomplejos, las las álgebras de división.
- Los sistemas de EDPs, teorema de Cartan-Kähler.
- Geometría y topología de los grupos de Lie.
- Geometría diferencial y los marcos móviles.
- Espacios generalizados con grupos de estructura y conexión, conexión de Cartan, holonomía, tensor de [[Weyl.
- Geometría de [[Riemann.
- Los espacios simétricos.
- La topología de grupos compactos y sus espacios homogéneos.
- Invariantes integrales y mecánica clásica.
- Relatividad, los espinores.
Fuentes
http://www.100ciaquimica.net/biograf/cientif/C/cartan.htm http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/mateospetsuak/Inprimaketak/Cartan.asp
