Óvalos de Cassini
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Óvalos de Cassini. Es el lugar geométrico de un punto donde el producto de las distancias a dos puntos fijos F1, F2 es la constante (b2).
Historia
Esta curva llamada también Cassinian o Elipse Cassinian fue concebida por Giovanni Domenico Cassini. Estudió esta familia de curvas en relación con los movimientos relativos del Sol y la Tierra en 1680. El creía que estas curvas podían representar órbitas planetarias.
Cassini concibió estas curvas catorce años antes de que Jakob Bernoulli describiera su lemniscata. Gian Francesco Malfatti estudió estas curvas en 1781.
Ecuaciones
La ecuación cartesiana de los óvalos de Cassini es:
(x2+y2)2-2a2(x2-y2)+a4=b4
La ecuación polar de los óvalos de Cassini es:
r4 + a4 − 2r2a2 cos 2θ = b4
F1 = (−a, 0) F2 = (a, 0)
La relación entre los valores a y b determina el tipo de curva que se obtendrá.
- Si b > a, la curva será un óvalo que no se corta a sí mismo.
- Si b = a, aparecerá la Lemniscata de Bernoulli.
- Si b < a, representará dos óvalos separados.
Propiedades
Si b−a es el radio interior de un toro cuyo círculo generador tiene radio a. La sección formada por un plano paralelo al eje del toro y que dista a unidades de el es un óvalo de Cassini.
Si b = 2a este plano es una tangente interior a la superficie y la sección es una Lemniscata. Cortes arbitrarios del toro no son óvalos de Cassini. La intersección de un toro y un plano paralelo al eje del toro se llama sección spiric.
Construcción
Para construir los óvalos de Cassine, se deben realizar los pasos siguientes:
- Dibujar una circunferencia cuyo diámetro sea la distancia focal .
- Una vez fijado el eje mayor AB, señalar un punto P en la circunferencia.
- Trazar desde el vértice A la semirrecta que pasa por P y que cortará a la circunferencia en el punto Q.
- Con centros en el foco F y en F´ dibujar dos circunferencias de radios AQ y AP, respectivamente.
- Los puntos de intersección M y N de estas dos circunferencias serán puntos de la curva.
Aplicamos movimiento al punto P para obtener la representación de la curva (Lugar Geométrico representado por los puntos M y N cuando el punto P recorre la circunferencia). Podremos desplazar un foco sobre el eje para obtener los distintos tipos de óvalos.
