Análisis numérico
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Análisis numérico (Análisis o cálculo numérico). Rama de la matemática que estudia los métodos aritméticos que se pueden aplicar en la resolución de problemas, son técnicas que permiten el logro de soluciones aproximadas (en ocasiones exactas) de un problema determinado, a través de la ejecución de una cantidad finita de operaciones lógicas y algebraicas básicas.
Sumario
Análisis numérico
Análisis numérico es el estudio de algoritmos (un algoritmo es un conjunto prescrito de instrucciones o reglas bien definidas, ordenadas y finitas que permite realizar una actividad mediante pasos sucesivos que no generen dudas a quien deba realizar dicha actividad) para los problemas de matemáticas continuas, según lo distinguido de matemáticas discretas. Problemas como: Computar la trayectoria de una nave espacial requiere la solución numérica exacta de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias; la industria automotriz puede mejorar la seguridad del desplome de sus vehículos usando simulaciones de computadora de los desplomes del coche.
Tales simulaciones esencialmente consisten en el solucionar ecuaciones diferenciales parciales numéricamente; los fondos de inversión privados utilizan las herramientas de todos los campos del análisis numérico para calcular el valor de la acción y de derivados más exacto que otros participantes del mercado; las líneas aéreas utilizan algoritmos sofisticados de la optimización para decidir a precios del boleto, las asignaciones del aeroplano y del equipo y las necesidades del combustible, este campo también se llama investigación de operaciones; las compañías de seguros también usan métodos numéricos para sus prestaciones de servicios; son abordados, tratados mediante algoritmos donde se busca la mejor aproximación posible para que preste una mayor exactitud y, por consiguiente, el margen de error sea el mínimo. La evolución del análisis numérico como una disciplina, ha estado estrechamente vinculada al acelerado desarrollo que los ordenadores han experimentado desde su creación. Con el nacimiento, desarrollo, y progreso de la computación (ordenadores), el trabajo del análisis numérico adquiere mayor fuerza, agilidad y rapidez, no dejando de perder precisión en sus cálculos. Es así como se han desarrollado diversos Software para potenciar esta unión de la matemática y la tecnología, como, por ejemplo, FreeMat, R-project, OpenBUGS, JMulTi, Maple, Matlab, entre otros.
Constituye un área de las ciencias matemáticas relativamente nueva de ésta ciencia, que ha adquirido bastante impulso por el avance vertiginoso de la computación. Una pequeña definición puede ser “El análisis numérico es una rama de las matemáticas cuyos límites no son del todo precisos. De una forma rigurosa, se puede definir como la disciplina ocupada de describir, analizar y crear algoritmos numéricos que nos permitan resolver problemas matemáticos, en los que estén involucradas cantidades numéricas, con una precisión determinada”.
El análisis numérico se potencia con la necesidad de exactitud en el cálculo de resultados precisos para la solución de situaciones en la física y sus distintas subdisciplinas y la astronomía, entre otras. Su aplicación a problemas de nuestro mundo real, realza la importancia de esta línea de trabajo, basada en aproximaciones cada vez más exactas, logradas por variados métodos de aproximación a puntos determinados. La necesidad de exactitud, hace que las matemáticas y las computadoras (ordenadores) se unan en esta tarea tan importante para el progreso del trabajo de matemáticas aplicadas en los más diversos ámbitos de ingeniería y física.
Este matrimonio obligado de las matemáticas y los ordenadores a potencializado en pocas décadas, a esta joven ciencia, a un fructífero desarrollo. La cantidad de pasos repetitivos, algoritmos, o procesos iterativos, los han unido aún más, por la facilidad que prestan las computadoras en un trabajo eficiente y eficaz. Por mencionar y para que se comprenda la real importancia de este trabajo unido, es el menor costo en tiempo que se requiere el realizar estos procesos de cálculo.
El desarrollo de software es de vital importancia para ayudar a comprender el análisis numérico. Por ejemplo, Matlab es un hito fundamental destinado al avance de apoyo del análisis numérico. Éste comenzó como un paquete interactivo para el cálculo de matrices, desarrollado inicialmente con fines docentes, pero rápidamente cobro notoriedad entre científicos e ingenieros como una ayuda indispensable para el cálculo científico. Este sistema que da acceso a algoritmos más eficientes con pocas líneas de código y permite a los especialistas centrarse en la esencia matemática del problema. Para comprender su importancia, que buena cantidad de los cálculos para el diseño de los transportadores espaciales de la NASA se realiza con este software.
Historia
El campo del análisis numérico es anterior a la invención de los ordenadores modernos en muchos siglos. La interpolación lineal ya se utilizaba hace más de 2000 años. Muchos grandes matemáticos del pasado se preocuparon por el análisis numérico, como se desprende de los nombres de importantes algoritmos como el método de Newton, el polinomio de interpolación de Lagrange, la eliminación gaussiana o el método de Euler.
Para facilitar los cálculos a mano, se produjeron grandes libros con fórmulas y tablas de datos como los puntos de interpolación y los coeficientes de las funciones. Con estas tablas, a menudo calculadas con 16 decimales o más para algunas funciones, se podían buscar valores para introducirlos en las fórmulas dadas y conseguir muy buenas estimaciones numéricas de algunas funciones. El trabajo canónico en este campo es la publicación del NIST editada por Abramowitz y Stegun, un libro de más de 1000 páginas con un gran número de fórmulas y funciones de uso común y sus valores en muchos puntos. Los valores de las funciones ya no son muy útiles cuando se dispone de un ordenador, pero el gran listado de fórmulas puede seguir siendo muy útil.
La calculadora mecánica también se desarrolló como herramienta de cálculo manual. Estas calculadoras evolucionaron hasta convertirse en ordenadores electrónicos en la década de 1940, y entonces se descubrió que estos ordenadores también eran útiles para fines administrativos. Pero la invención del ordenador también influyó en el campo del análisis numérico, ya que ahora se podían hacer cálculos más largos y complicados.
Un poco de historia en análisis numérico
Se puede decir que el análisis numérico moderno comienza con el paper de 1947 de John von Neumann y Herman H. Goldstine, Numerical Inverting of Matrices of High Order" (Bulletin of the AMS, Nov. 1947). Es uno de los primeros trabajos para estudiar error de redondeo e incluir la discusión de lo que hoy se llama computación científica.
Aunque el análisis numérico tiene una historia más larga y más rica, el análisis numérico "moderno", como se usa hoy en día, se caracteriza por la sinergia de la computadora programable, el análisis matemático, y la necesidad de resolver grandes problemas tremendamente complejos y con diversas aplicaciones. La necesidad de que los avances en las aplicaciones, tales como la predicción balística, el transporte de neutrones, la dinámica de fluidos multidimensionales entre otros, impulsó el desarrollo de los computadores y dependía en gran medida de los avances en el análisis numérico y el modelado matemático. Por esto el análisis numérico moderno y la computación científica se desarrollaron de forma rápida y en muchos frentes. El enfoque actual del área está centrado en el álgebra lineal numérica, los métodos numéricos para ecuaciones diferenciales e integrales, métodos de aproximación de funciones, y el impacto de estos desarrollos en la ciencia y la tecnología. De particular interés actual es el impacto de los paquetes de software de matemáticas.
Clasificación del Análisis Numérico
Según su naturaleza numérica o finito-dimensional y por su naturaleza funcional o infinito-dimensional. Perteneciendo al primer grupo, los problemas referentes a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, análisis de valores y vectores, a la resolución de ecuaciones y sistema de ecuaciones no lineales. Del segundo grupo son los problemas de interpolación y aproximación de funciones, la derivación y combinación numérica, los problemas de valor inicial, así mismo los de contorno para ecuaciones en derivadas parciales.
Los ordenadores, son las herramientas necesarias para aplicar con eficiencia la mayoría de los métodos que suele proponer el análisis numérico, motivado al considerable número de cálculos y procesamiento de información que suelen llevar aparejados. Los diferentes problemas que trata el análisis numérico son en concreto, una serie de procesos de aproximación que consisten en sucesiones de cálculos. Estos procedimientos se conocen como algoritmos.
El análisis numérico por lo general, está conformado por un cantidad de etapas finitas que se desarrollan de manera lógica, las cuales mejoran las afinidades iniciales de ciertos valores, tal como la raíces de una ecuación, que se ejecutan con cierto margen de error, es por lo tanto un proceso cíclico de mejora del valor que se le denomina iteración. Este tipo de análisis matemático, es una opción muy eficaz en la resolución de ecuaciones tanto algebraicas (polinomios) como trascendentes. La repetición de algunos procedimientos lógicos, en este caso las iteraciones, son procedimientos que permiten mejorar los valores inicialmente establecidos como solución, debido a que se trata siempre de la misma operación lógica, en la que resulta muy oportuno el uso de herramientas de cómputo para realizar esta tarea.
En la mayoría de los casos, estos métodos se utilizan cuando se requiere de un valor numérico para resolver un problema matemático y de procedimientos precisos o analíticos como la resolución de variables e incógnitas, la teoría de ecuaciones diferenciales, los cálculos de integrales, etc., ya que son incapaces de dar una respuesta exacta. Por tal motivo, son métodos utilizados frecuentemente por físicos e ingenieros, cuya aplicación se ha visto favorecida por la necesidad de obtener soluciones más precisas, aunque tal precisión no sea muy exacta. Es importante recordar que, la física experimental por ejemplo, no arroja valores exactos sino intervalos aproximados que comprenden casi la totalidad de los resultados experimentales obtenidos, porque no es común que dos magnitudes de un mismo fenómeno arrojen valores idénticos.
Los problemas que normalmente trata de resolver esta disciplina son divididos en dos grandes grupos:
• Problemas de dimensión finita: son aquellos cuya resolución, son un conjunto finito de números como por ejemplo las ecuaciones algebraicas, los determinantes de una matriz, los problemas de valores propios, etc.
• Problemas de dimensión infinita: son aquellos problemas en los que cada uno de sus planteamientos o soluciones, intervienen elementos expresados mediante una cantidad infinita de números, como la integración y derivación numéricas, análisis de ecuaciones diferenciales, las interpolaciones, etc.
De igual manera, existe dentro del análisis numérico una subdivisión organizada en tres categorías de problemas, de acuerdo a su naturaleza:
• Problemas que no poseen solución analítica por su gran complejidad.
• Problemas en los que sí existe una posible solución analítica, pero la misma por su complejidad u otras razones, no puede ser desarrollada de forma sencilla en la práctica.
• Problemas para los cuales existan operaciones sencillas pero que, al ser llevadas a la práctica, ameritan de una cantidad de análisis excesivos, mayor que los requeridos en cualquier método numérico. La mayoría de los análisis numéricos empleados en ingeniería utilizan variables continuas, al momento de trasladar estas operaciones al computador para facilitar su resolución, se descubre que en un computador no se pueden realizar cálculos de variables continuas de forma eficaz, porque el mismo funciona con una representación de información discreta. Entonces, por medio de distintos análisis numéricos, se ajustan métodos matemáticos en variable continua conforme a la estructura de representación de la información discreta.
Fuentes
• Un poco de historia en análisis numérico
• Una introducción histórica al Análisis Numérico, el Control y su docencia
