Definición en matemáticas
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Definición en Matemáticas. Las matemáticas formales, las que aparecen en publicaciones, para usuarios de diferentes niveles se estructuran como un sistema axiomático que involucra: conceptos primitivos, axiomas, proposiciones o teoremas. Las propiedades de los objetos primitivos se presentan a través de axiomas y luego aparecen los objetos definidos.
Como en la geometría elemental se pueden considerar los conceptos primitivos: el punto, la recta , el plano, una relación de interposición de puntos de una recta. En base a ello se puede definir segmento de recta. Considerar en la aritmética: número natural, el uno , la función sucesor, como conceptos primitivos; en seguida presentar como conceptos definidos la adición y multiplicación de números naturales.
Sumario
Concepto de definición
La definición en matemática o en otra disciplina es delimitar, o sea, indicar, señalar el límite que separa un objeto de todos los demás.[1]. Los pilares estructurales de la matemática son: la definición, el teorema y la demostración o prueba. Las definiciones señalan con precisión los conceptos de importancia en la teoría. Los teoremas o proposiciones expresan exactamente lo que hay de verdadero en esos conceptos y las demostraciones revelan, en forma contundente, la verdad de esas afirmaciones.[2]
Los objetos matemáticos existen mediante definiciones, sin embargo, son resultados de abstracciones o idealizaciones de la realidad física o resultado de un hallazgo dentro de la propia disciplina [3]. Por ejemplo, un número puede ser un natural y se llama número compuesto o número primo, par o impar, siempre que cumpla condiciones precisas y específicas. Estas condiciones específicas son la definición del concepto. Las definiciones al igual que las conjeturas, axiomas (o postulados) y teoremas entre otros conceptos matemáticos pueden enunciarse en un lenguaje formalizado.
Estructura sucinta de la geometría euclidiana
En geometría son clásicos los postulados de Euclides y más reciente la axiomatizacion de Hilbert.
- Conceptos no definidos: punto, recta, plano.
- Conceptos definidos: segmento, ángulo, bisectriz.
- Axiomas: proposiciones sobre los conceptos no definidos. Para el caso, va el el siguiente axioma: "Por dos puntos diferentes pasa una recta y sólo una".[4]
- Teoremas (proposiciones que deben probarse).
- Ejemplo de axioma ( en geometría euclidiana): por un punto exterior a una recta pasa una recta y sólo una.
- Ejemplo de teorema: en un tetraedro regular el segmento que une un vértice con el baricentro de la cara opuesta es perpendicular al plano de la cara. [5]
Forma lógica de la definición matemática
↔ ⇔ ≡
que representan si y sólo si.
Usando una condición necesaria y suficiente.
- Por ejemplo: la definición un número entero es primo si es mayor que uno y tiene exactamente dos divisores el 1 y él mismo. Para que un número entero sea primo es condición necesaria que sea mayor que 1 y posea dos divisores el 1 y el mismo número. Es condición suficiente que un entero sea mayor que 1 y tenga dos divisores el 1 y él mismo para que sea número primo. Aunque en la práctica usual no se destaque que la definición en las matemáticas asumen la estructura de una equivalencia lógica
En ciertas ramas de las matemáticas
Teoría de conjuntos
En teoría de conjuntos, el axioma de extensionalidad es un axioma que establece que dos conjuntos son iguales si solo si tienen los mismos elementos.
Enunciado
El enunciado del axioma establece que si dos conjuntos tienen los mismos elementos entonces son idénticos.
Análisis matemático
- Límite de una función
Si la función real f tiene límite L en c podemos decir de manera informal que la función f tiende hacia el límite L cerca de c si se puede hacer que f(x) esté tan cerca como querramos de L haciendo que x esté suficientemente cerca de c siendo x distinto de c.
Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:
El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para todo número real x en el dominio de la función 0 < |x-c| < δ\delta implica |f(x)-L| < ε .
Lo importante es comprender que el formalismo no lo hacen los símbolos matemáticos, sino, la precisión con la que queda definido el concepto de límite. Esta notación es tremendamente poderosa, pues, nos dice que si el límite existe, entonces se puede estar tan cerca de él como se desee, sin utilizar el concepto de infinitesimal. Si no se logra estar lo suficientemente cerca, entonces la elección del δ no era adecuada. La definición asegura que si el límite existe, entonces es posible encontrar tal δ.
Álgebra abstracta
En álgebra abstracta pueden definirse sistemas algebraicos,[6]. [7] por ejemplo:
Un grupo (G, *) es un conjunto G en el que se ha definido una operación binaria interna * , que satisface las siguientes propiedades o axiomas:[8]
- Asociatividad: a *(b * c)=(a * b) * c, para todo a,b,c en G
- Elemento neutro o elemento identidad: Existe e en G : e * a=a * e=a
- Elemento simétrico o inverso: Para todo a en G, existe a-1 en G tal que a * a-1=a-1 * a=e
Por lo tanto, un grupo está formado por un conjunto de objetos y por una ley de composición interna (operación binaria) que los relaciona . Dicha ley de composición interna indica cómo deben ser manipulados los elementos del grupo.
Uso de definiciones equivalentes
Se deja indicado que hay la posibilidad de usar una de las posibles definiciones equivalentes al desarollar una obra o una teoría. Pues bien se puede dar las siguentes definiciónes sobre un cuadrado:
- C1. Un cuadrado es un rectángulo con un par contiguo de lados iguales.
- C2. Un cuadrado es un rombo con un ángulo recto
- C3. Un cuadrado es un paralelogramo que es, a la vez, rombo y rectángulo.
- C4. Un cuadrado es un paralelogramo de cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos.[9]
- C5. Un cuadrado es un cuadrilátero regular.
Orden de conceptos
- En un tratado de topología ¿por dónde empezar? El asunto lo maneja el experto.
- Horvath define previamente el concepto de vecindad, luego define conjunto abierto usando el de vecindad. Con el concepto de vecindad prueba que R y {} son abiertos, lo mismo que la unión de cualquier colección de abiertos en abierta, la intersección de abiertos es abierta. En seguida, define una topología. [10]
- Kelley define previamente una topología y dice que cualquier elemento de esta topología es un abierto. Teniendo el concepto de abierto, define el concepto de vecindad. [11]
- Pontriaguin define topología con adherencias. [12]
- para numerales reales
- Se puede definir los numeros realaes, sus operaciones y la relación de orden, axiomaticamente, en seguida los naturales, los enteros, los racionales.[13]
- O sino teniendo los racionales, definir los reales mediante cortaduras.[14]
Conceptos no definidos
En un estudio es importante que los términos sean definidos.¿Todos? Pues la pretensión de definir a todos ellos llevaría a un círculo vicioso. Así, p. ej., un diccionario puede definir existir como ser, y en seguida definir ser como existir, con el resultado de que existir significa existir. Para superar esta complicación en un sistema axiomático se eligen ciertos conceptos como conceptos primitivos o conceptos no definidos, y se definen a partir de ellos todas las demás nociones requeridas( peculiaridades de la materia).[15]
Véase también
Referencias
- ↑ José Ferrater Mora: Diccionario de Filosofía (2001) pág. 117
- ↑ Matemáticas discretas Edward R. Sheinerman (2001)pág 1, después de la pág. xxv
- ↑ Courant y John: Introducción al cálculo y al análisis matemátic. ISBN 968-18-0634-5
- ↑ Leonard M. Blumenthal: Geometría axiomática (1965) pág 59
- ↑ Geometría, Ediciones Lumbrera. Lima (1915); demostrable aplicando la ley de los cosenos
- ↑ Birkoff - Mac Lane. Algebra Moderna
- ↑ Kúrosch. Álgebra superior
- ↑ Introducción a la Teoría de Grupos de Felipe Zaldívar ( 2009) pág. 11
- ↑ Haga su dibujo para caso, y verá que siempre el dibujo, corresponde a un cuadrado
- ↑ Horvath. Introducción a la tología general, Eudeba Buenos Aires
- ↑ Kelley. Topología general, Eudeba Bs. As.
- ↑ Pontriguin: Grupos continuos, mir, Moscú
- ↑ Haaser y otros. Análisis matemático I, Trillas, Ciudad México
- ↑ Álgebra Moderna: Colección Schaumm
- ↑ Geometría Axiomática de Leonard M. Blumenthal ( 1965), Madrid, pág. 46
Fuentes
- Leonard M. Blumenthal: Geometría axiomática
