Ecuación en diferencias finitas

Ecuación en diferencias finitas Concepto: Soluciones particulares para una ecuación en diferencias finitas según su término independiente f(n).

Ecuación en diferencias finitas. En matemáticas, una ecuación en diferencias finitas o EDF es una ecuación cuya solución es una sucesión. En la ecuación aparecen algunos términos de la sucesión.

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Ejemplo

y_n+1 - y_n = n, para todo n natural.

La solución (o soluciones) de esta EDF debe ser una sucesión {y_n} tal que la diferencia del término (n+1)-ésimo y su término anterior n-ésimo es n. Una solución de esta EDF es la sucesión

y_n = 2 - 0.5·n + 0.5·n²

Comprobación:

El término (n+1)-ésimo es

y_n+1 = 2 - 0.5·(n + 1) + 0.5·(n + 1)² = 2 - 0.5n + 0.5n² + n

Por lo que si se le resta el término que le precede se obtiene

y_{n + 1} - y_n = 2 - 0.5n + 0.5n² + n -2 + 0.5·n - 0.5·n² = n

con lo que se verifica la EDF para todo n natural.

Otra solución de la misma EDF es la sucesión y_n = -0.5n + 0.5n².

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Definición formal de EDF

Se denomina Ecuación en diferencias finitas (EDF) de orden k a la ecuación

y_n+k + a_k-1y_n+k-1 + a_k-2y_n+k-2+ ... + a₁y_n+1 + a₀y₀ = f(n)

donde los términos a_q (para todo q) son los coeficientes de la ecuación y f(n) es el término independiente. Si f(n) = 0 para todo n, entonces se dice que la EDF es homogénea. Si no, se dice que es no homogénea.

Polinomio característico

Se define el polinomio característico p(r) de la EDF de la definición anterior como el sumatorio de a_i·rⁱ siendo 0 ≤ i ≤ k.

EDF con condiciones iniciales

A la EDF se le pueden añadir los términos iniciales de la sucesión incógnita para acotar el conjunto de soluciones.

Ejemplo

Si a la EDF del ejemplo anterior, y_n = 2 - 0.5·n + 0.5·n², se le añade la condición inicial y₀ = 0, entonces la primera solución escrita anteriormente deja de ser una solución puesto que y₀ = 2. En cambio, la sucesión y_n = -0.5n + 0.5n² es una solución de la EDF que sí cumple la condición inicial.

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Solución general de una EDF no homogénea

La solución general x_n de una EDF no homogénea es la suma

x_n = x_n^h + x_n^p

donde la primera sucesión, x_n^h, es la solución general de la EDF homogénea asociada (obtenida al cambiar el término f(n) por 0), y la segunda sucesión, x_n^p, es una solución particular de la EDF no homogénea.

EDF homogénea de primer orden

Una EDF homogénea de primer orden tiene la forma

y su solución general es la sucesión

Fuentes

• Ecuaciones en Diferencias Finitas (matesfacil.com)
• Resolución de EDF's de primer y segundo orden (matesfacil.com)

Véase también

Método de las diferencias finitas