Entero gaussiano

Un entero gaussiano, llamado también número complejo entero o número gaussiano entero , como se acostumbra también nombrar en memoria del insigne matemático alemán, Carlos Federico Gauss, quien fue el primero que los estudió, prolijamente, es una generalización natural de los números racionales enteros.

Definición

Se denomina entero gaussiano el número complejo cuyas parte real y parte imaginaria son números racionales enteros. En otros términos, un número gaussiano entero es un número complejo de la forma

w = u + v i, donde
u y w son números racionales enteros. Aparte de los números enteros gaussianos, cabe mencionar los números gaussianos, cuyas partes real e imaginaria son números racionales

[1]

Generalidades

El conjunto Z[i] con la adición constituye un grupo abeliano, donde el elemento neutro es el cero, el opuesto de z es -z. El conjunto de los enteros gaussianos, al heredar la adición, la sustracción y multiplicación de los números complejos, forma un anillo conmutativo unitario y al no tener divisores de cero constituye un dominio de integridad , usualmente se denota como Z[i], donde i2 = -1 , no es sino la unidad imaginaria.

Los enteros gaussianos enteros son utilizados en teoría de números algebraicos y en aritmética modular, por ejemplo, para el estudio de ecuaciones diofánticas. El empleo de este sistema numérico prestó gran ayuda en la prueba de la ley de reciprocidad cuadrática.

Tiene propiedades análogas a los enteros racionales: valor absoluto con norma, en ambos es posibe ejecutar la división inexacta, hallar el MCD y el MCM, ambos conjuntos tienen elementos primos, elementos asociados, unidades, etc-

Mirada algebraica

  1. El conjunto de los enteros gaussianos, con la adición de números complejos, constituyen un grupo abeliano.
  2. El mismo conjunto Z[i] con la adición y la sustracción y la multiplicación de números complejos es un anillo conmutativo unitario.
  3. Las unidades son 1, -1, i, -i;
  4. El subconjunto Su = {1, -1, i, -i \} forman un grupo multiplicativo
  1. Dicho conjunto es un dominio entero, pues no tiene divisores de cero. Pues zw = 0 implica z = 0 ó w = 0.[2]

Norma

La norma de un entero gaussiano es el número racional entero igual al producto del entero gaussiano por su conjugado, es decir:

<math>N (a+bi) = a2+b2 = (a+bi)×(a-bi)

La norma, en teoría de números, es una función multiplicativa, i.e.

N(z × w) = N(z)× N(w).

La norma guarda cierta similitud con el valor absoluto y su raíz cuadrada es la distancia euclídea del número gaussiano entero a+bi al origen de coordenadas rectangulares del plano complejo. La norma es aplicada en el estudio de la divisibilidad] de los gaussianos enteros

Las unidades de Z[i] son aquellos elementos cuya norma es 1; justamente, los números complejos 1, −1, i y −i. Estos, como puntos del plano gaussiano o R2, son simétricos respecto del origen, del eje real y del eje imaginario. Son raíces de la ecuación z4 +1 = 0 , y son vértices de un cuadrado inscrito en una circunferencia, de radio 1 y centro en el origen de coordenadas. [3]

Divisibilidad

Factores

Se dice que el entero gaussiano β es un factor del entero gaussiano α, si existe γ gaussiano no nulo tal que α=β·γ y se denota β|α. Por ejemplo 4 + 3i = (2-i) (1+2i), luego 2 -i divide a 4 + 3i. En caso de que el entero gaussiano no tenga divisores se denomina irreducible.[4]

Asociados

Dos números gaussianos enteros se denominan asociados si difieren entre sí en un factor igual a un divisor de la unidad, de otra forma z, -z, i, -i serán números gaussianos enteros asociados si z es un número gaussiano entero arbitrario.[5]

Número gaussiano primo

Un número entero gaussiano π es un número gaussiano primo si su norma es mayor que 1 y que el mismo no puede descomponerse en un producto de dos números gaussianos enteros, cuyas normas sean menores que la del número π. Ejemplos

z = 2+i de norma N(z)= 5
w= 4+i de norma N(w)= 17 .

Comúnmente, serán números gaussianos primos todos aquellos cuyas normas sean números racionales primos o sean el producto de un primo de la forma 4n + 3 por una unidad (±1, ±i).[6]

  • 2 es un caso especial: 2 = i3 (1 + i)2. Es el único primo en Z divisible por el cuadrado de un primo en Z[i].
  • Los primos positivos en Z de la forma 4n+3 son también primos en Z[i]. En teoría de números algebraicos, se dice que esos primos permanecen inertes en Z[i].
  • Los primos positivos en Z de la forma 4n+1 son el producto de dos conjugados primos en Z[i]. En teoría de números algebraicos, se dice que esos primos se descomponen en Z[i].

Así, los primos inertes son 3, 7, 11, 19, ... y una factorización de los primos descompuestos es

 5 = (2 + i) × (2 − i),
13 = (2 + 3i) × (2 − 3i),
17 = (4 + i) × (4 − i),
29 = (2 + 5i) × (2 − 5i), ...

Los asociados y conjugados de un primo son también primos.

Factorización

Proposición

todo número gaussiano entero z ≠ 0 puede descomponerse en un producto de números gaussianos primos

Z = z1 z2<math>...zn, donde zi es primo gaussiano para i= 12,...,n.

(los zi son números gaussianos primos que pueden no ser diferentes).

Esta descomposición es unívoca, en la siguiente manera. Pues dada otra descomposición los factores coinciden.


ambas descomposiciones tienen el mismo número de factores, k=l, y ellas pueden diferir apenas en el orden de factores y de los factores que sean divisores de la unidad. Esta proposición es análoga a una proposición referida a la descomposición de un número entero compuesto.

Mirada aritmética

Un caso distinto

41 se considera primo dentro de los enteros, en el sentido de Landau y Gentile, tiene los factores positivos 1 y 41, sin embargo, en el sistema de los números gaussianos enteros cabe

41 = (5 - 4i)(5 + 4i) y todos los primos de la forma 4k + 1 dejan de ser primos en los ee. gg.
norma multiplicativa

5 - i = (2 -3i)(1 + i), se cumple que N(5 -i) = 26 = 13(2) = N(2 -3i)N(1 +i) [7]

División euclidiana

Si a y b son números gaussianos enteros con b≠0, existen únicos números gaussianos enteros q y r tal que

a = bq + r donde 0≤ N(r) < N(b), con este resultado los los números gaussianos enteros conforman un anillo euclidiano.

Referencias

  1. ↑ A. A. Belski/ L. A. Kaluzhnin: "Lecciones populares de matemática División inexacta" ; Editorial Moscú (1987) 1ra reimpresión, pág 27
  2. ↑ Castro Puche. Álgebra moderna ISBN 978-958-648-850-1
  3. ↑ Lars V. Ahlfors. Complex Analysis. Tokyo
  4. ↑ Fraleigh: Álgebra abstracta
  5. ↑ Niven- Zuckerman. Op. cit.
  6. ↑ Niven- Zuckerman Op. cit
  7. ↑ Niven y Zuckerman: Introducción a la teoría de los números" ISBN 968-18-0669-7


Fuentes

  • Niven y Zuckerman: Introducción a la teoría de los números, Limusa Ciudad de México, 1969
  • A. A. Belski/ L. A. Kaluzhnin: División inexacta Editorial Mir, Moscú varias ediciones.
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