Fibrado ( Topología)

En matemáticas, en particular topología, un fibrado es una función continua suryectiva, π de un espacio topológico E a otro espacio topológico B, satisfaciendo otra condición que lo hace de una forma particularmente simple localmente. Introduciendo otro espacio topológico F, utilizamos la función de proyección de B x F → B como modelo. Por ejemplo en el caso de un fibrado vectorial, F es un espacio vectorial sobre los números reales.

Diciéndolo más formalmente, para cualquier x en B, hay una vecindad U_x tales que π^{-1}(U_x) es homeomórfico a U x F, de una manera tal que π transporta a la proyección sobre el primer factor. B se llama el espacio de base del fibrado y E el espacio total, y para cualquier x ∈ B, la preimagen de x, π^{-1}(x) se llama la fibra en x y la función π se llama la función de proyección. Un ejemplo estándar es la Banda de Möbius como E, en la cual B se puede tomar como un círculo y F un segmento de línea. La torcedura en la cinta es evidente sólo globalmente, mientras que localmente la estructura de la cinta define la topología.

Grupo estructural

Existe, a veces, un grupo topológico G de transformaciones de E, tal que si ρ denota la acción, π(ρ(g)[e])= π(e) para g en G y e en E. La condición indica que cada G-órbita reside dentro de una sola fibra. En ese caso, G se llama grupo estructural del fibrado. Para calificar como G-fibrado, las condiciones que emparejan entre las vecindades trivializable locales tendrían que ser los intertwiners de G-acciones también.

Si, además, actúa G libremente, transitivamente y continuamente sobre cada fibra, entonces llamamos al fibrado fibrado principal. Un ejemplo de un fibrado principal que ocurre naturalmente en geometría es el fibrado de todas las bases de los espacios tangentes a una variedad, con G grupo general lineal; la restricción en geometría de Riemann a las bases ortonormales, limitaría G al grupo ortogonal. Vea vierbein para más detalles.

Hacer G explícito es esencial para las operaciones de crear un fibrado asociado, y hacer precisa la reducción del grupo estructural de un fibrado.

Secciones

Una sección de un fibrado es una función continua, f: B → E tal que π(f(x))=x, para x en B. Como los fibrados en general no tiene secciones, uno de los propósitos de la teoría es explicar su existencia. Esto conduce a la teoría de las clases características en topología algebraica.

Aplicaciones

uno de los usos primarios de los fibrados está en las teorías de gauge.

Vea también Fibration.

Fuentes

Dubrovin y otros Geometría moderna