Filtro resonante

Filtro resonante Concepto: En el procesamiento electrónico de señales eléctricas, son los dispositivos que usando el efecto de la resonancia magnética son capases de seleccionar las señales por sus frecuencias.

Filtro resonante. El procesamiento electrónico de señales eléctricas requiere de dispositivos capaces de seleccionar las señales por su frecuencias. Estos dispositivos se denominan filtros. La resonancia magnética es el efecto más usado para éste propósito.

Introducción

En relación con el sonido, se denominará, timbre a la sensación que permite diferenciar las voces de distintas personas o diferenciar el sonido, por ejemplo de un clarinete o una trompeta. La sensación de timbre responde a la composición espectral del sonido y no a su dependencia temporal específica, pues el oído humano es insensible a las fases de las componentes espectrales. Dos sonidos con dependencias temporales distintas, se oyen igual si tienen el mismo espectro. Al conjunto de las amplitudes de las corrientes o los potenciales alternos que componen una señal eléctrica, se le denomina espectro y a la dependencia de la respuesta de un circuito ante la frecuencia de los componentes, respuesta de frecuencia. El comportamiento del circuito se puede describir con ayuda de estos dos conceptos. El intervalo de frecuencia en que se procesan las señales eléctricas está cubierto por cuatro sistemas electromagnéticos resonantes.

• Circuito LRC, en electrodinámica es un circuito lineal que contiene una resistencia eléctrica, una bobina (inductancia) y un condensador (capacitancia).
• Secciones de línea de transmisión.
• Cavidad resonante.
• Resonador Fabri-Perot.

La resonancia es la tendencia de un cuerpo físico a vibrar en una o más frecuencias específicas. Los filtros resonantes simulan la resonancia de cuerpos físicos introduciendo realimentación (feedback) que potencia una banda de frecuencias alrededor de la frecuencia de corte del filtro. La cantidad de resonancia generalmente afecta el ancho de la banda de frecuencias que se amplifica, valores bajos resaltarán una banda más ancha mientras que valores altos de resonancia destacarán bandas más estrechas. Los sistemas electromagnéticos resonantes se caracterizan por su factor de calidad o factor de selectividad Q que se define como f₀/∆f, donde ∆f es el intervalo de frecuencias en que el sistema responde apreciablemente y f₀ es la frecuencia de resonancia. La calidad de un sistema resonante depende de su construcción, aumentando con (f₀)^1/2.

Comportamiento de los circuitos resonantes RLC serie y paralelo

Análisis de los circuitos resonantes RLC

Los circuitos resonantes RLC cubren un intervalo de siete órdenes de frecuencia. Los detalles constructivos de los circuitos RLC para baja frecuencia difieren grandemente de los circuitos para alta frecuencia, pero las ecuaciones que describen su comportamiento son idénticas. Los circuitos resonantes RLC en serie (figura. 2 a) y el circuitos RLC paralelo (figura. 2 b) guardan una completa analogía por lo que son denominados duales.

Fig. 2 Circuitos: a) en paralelo, b) en serie.

Obteniendo la respuesta como una función del estímulo

Para obtener Ũ=f(Ĩ₀) IMG E utilizamos la ley de Kirchhoff de los nodos para el circuito RLC en paralelo: IMG F Para obtener IMG G utilizamos la ley de Kirchhoff de las mallas en el circuito RLC serie: IMG H Según la ley de Ohm para corrientes y potenciales alternos en cada elemento, obtenemos: IMG I Las ecuaciones son idénticas si cambiamos: IMG J Lo analizado en el circuito en paralelo para IMG K, será cierto en el circuito en serie para IMG L IMG M La ecuación anterior relaciona el fasor respuesta con el fasor estímulo y la frecuencia. El fasor es un número complejo que se determina por dos números reales, la amplitud y la fase. El análisis de estas dos magnitudes por separado para el circuito en paralelo, y las conclusiones para el circuito en serie se obtendrán haciendo uso de la analogía.

Análisis de la amplitud y la fase para el circuito en paralelo

Hallando la dependencia de la amplitud de la respuesta con la frecuencia IMG N IMG O La curva de respuesta de frecuencia es una lorentziana con máximo en IMG P para ambos circuitos (figura 3). El ancho de banda es la diferencia entre las dos frecuencias para las cuales la amplitud del estimulo cae a IMG Q de su valor máximo. Igualando el denominador de la ecuación (4) a IMG R obtenemos: IMG S Fig. 3 Respuesta de frecuencia del circuito resonante. tomando raíz en ambos miembros: IMG T MG U que tiene como soluciones: IMG V De las cuatro soluciones, solo dos son positivas: IMG W IMG X IMG Y Por analogía: IMG Z Observar que el ancho de banda es inversamente proporcional al tiempo de respuesta del circuito RC. Resulta una ley general que el ancho de banda en frecuencia de un sistema es inversamente proporcional al tiempo que demora en responder.

Comportamiento de la fase con la frecuencia para el circuito en paralelo

El denominador de la ecuación (4) se puede expresar como IMG Z1 y queda: IMG Z2 La diferencia de fase entre IMG Z3 en el circuito en paralelo vale: IMG Z4 La diferencia de fase entre IMG Z5 en el circuito en vale: IMG Z6 Utilizando la ecuación 12 y 4 obtenemos: IMG Z7

Magnitudes que simplifican las expresiones y facilitan el razonamiento cualitativo

Impedancia característica del circuito, valor de las reactancias inductivas o capacitivas a la frecuencia de resonancia y se simboliza por la letra ρ: IMG Z8 Efectuando los cambios correspondientes para pasar del circuito en paralelo al circuito en serie, sé verá que la expresión para ρ se mantiene; la impedancia característica de un circuito en serie con los mismos parámetros que uno en paralelo es la misma. La calidad del circuito IMG 1A que ya fue definido como IMG A o multiplicando por 2π el numerador y el denominador IMG Z9. Si sustituimos IMG Z10 por IMG Z11 y IMG Z12 por IMG Z13 para el circuito en paralelo: IMG Z14 Las corrientes en R, L y C durante la resonancia valen: IMG Z15 Durante la resonancia, las corrientes, en las componentes reactivas son IMG Z15 veces mayores que la fuente; por eso la resonancia en un circuito RLC en paralelo se le suele llamar resonancia de corrientes. La dependencia con la frecuencia de las corrientes por los elementos reactivos se puede conocer dividiendo IMG Z18 por las reactancias respectivas: IMG Z18 En el circuito en serie: IMG Z19 Los voltajes en IMG Z20 durante la resonancia valen: IMG Z21 Durante la resonancia, los voltajes en las componentes reactivas son IMG Z22 veces mayores que la fuente. Por eso a la resonancia en un circuito RLC en serie se le suele llamar resonancia de voltaje. La dependencia con la frecuencia de los voltajes en los elementos reactivos, se puede conocer multiplicando IMG Z23 por sus respectivas reactancias: IMG Z24

Problemas en el circuito real

La teoría anterior mente estudiada no es aplicable directamente a los circuitos reales debido a las siguientes razones. En el circuito en paralelo consiste en que un inductor real tiene pérdidas resistivas que hacen que su aproximación circuital más simple se la mostrada en la figura 4 a. No obstante, si el inductor es de suficiente calidad a la frecuencia que va a operar se deberá cumplirse que: IMG Z25 La admitancia IMG Z26 del inductor valdrá: IMG Z27 Consiste en que un capacitor real tiene fugas a través del dieléctrico u otras pérdidas, que hacen que su aproximación circuital más simple sea como la mostrada en la figura 4 b. Fig. 4 Aproximación circuital: a) de un inductor real, b) de un capacitor real. No obstante, si el capacitor es de suficiente calidad a la frecuencia que va a operar se deberá cumplirse que: IMG Z28 La impedancia IMG Z29 del capacitor valdrá: IMG Z 30 Las siguientes equivalencias circuitales serán ciertas, figura 5. Si este inductor forma parte de un circuito resonante, para las frecuencias cercanas a la resonancia se cumplirá que: IMG Z 31 ya que: IMG Z 32 Fig. 5 Equivalencias circuitales: a) de un inductor real, b) de un capacitor real. Si este capacitor forma parte de algún circuito resonante para las frecuencias cercanas a la resonancia, se cumplirá que: IMG Z 33

Aplicaciones de los filtros resonantes

• El sistema más elemental para selector de estaciones de radio es un circuito tanque con un capacitor variable conectado a la salida de una antena.
• Los [transformadores] no funcionan a alta frecuencia. Sin embargo muchas veces es necesario aumentar la amplitud de una señal de alta frecuencia. Para resolver este problema se emplea un circuito resonante en serie.
• Los filtros permiten modificar el timbre del sonido. Con filtros resonantes se pueden crear resonadores que le dan mucha más calidez a un sonido generado electrónicamente.

Fuente

• Dean, K.S.: Integrated electronics. Chapman and Hall LTD, G.B., 1967.
• Millmann Y Halkias: Integrated electronics, analog and digital circuits and systems. Mc Graw-Hill Book Company, EE.UU, 1972.