Funciones continuas

Funciones continuas Concepto: Una función f es continua si su gráfica no tiene interrupciones ni saltos.

Funciones continuas . Intuitivamente una función f es continua si su gráfica no tiene interrupciones ni saltos, ni oscilaciones indefinidas, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.

Definición

Función de una variable real: Una función f de ℝ en ℝ es continua en el punto a de ℝ si existe el límite de f(x) cuando x tienda a a y dicho límite coincide con f(a). Si no es así, la función es discontinua en el punto a.

La función anterior es continua en su dominio (ℝ) si es continua en todos los puntos de ℝ.

Ejemplos

• Las funciones polinómicas son continuas en ℝ. Por ejemplo, f(x) = x³ - 2x² +1.
• Las funciones racionales son continuas en todo ℝ excepto en los puntos para los que se anula el denominador. Por ejemplo, f(x) = 1 / (x -1) es continua en todos los reales excepto en x = 1.
• Las funciones constantes son continuas en todo ℝ. Por ejemplo, f(x) = 3.
• La función definida por partes,

es continua para los puntos x < 2 por ser polinómica y para los puntos x > 2 por ser constante. Además, la función es continua en el punto x = 2, porque los límites laterales de f(x) cuando x tiende a 2 coinciden y son iguales a f(2). Su gráfica es:

Continuidad lateral

• Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto x = a si existe el límite de f(x) cuando x tiende a a por la izquierda y es igual a f(a).
• Una función f(x) es continua por la derecha a en el punto x = a si existe el límite de f(x) cuando x tiende a a por la derecha y es igual a f(a).

Si la función f(x) es continua por la derecha y por la izquierda de a, entonces es continua en a.

Tipos de discontinuidades

Las discontinuidades se clasifican en evitables y no evitable. Si la función f(x) no es continua en el punto x = a, entonces la discontinuidad es

• Evitable: si no está definida f(a) pero sí que existe el límite de f(x) cuando x tiende a a. O bien, existe el límite de f(x) cuando x tiende a a pero no coinciden con f(a).

• No evitable o esencial: si los límites laterales no coinciden (esencial de primera especie) o alguno de ellos no existe (esencial de segunda especie).

Véase también

• Matemáticas aplicadas
• Matemáticas
• Matemática Discreta
• Teorema de Bolzano

Fuentes

• Problemas resueltos: continuidad de funciones (Matesfacil.com)
• Función continua (Wikipedia.org)
• Clasificación de las discontinuidades