Grupo de Klein
En matemáticas, el grupo de Klein o el Vierergruppe (en alemán, grupo de cuatro) es el grupo abeliano de cuatro elementos en el que cada elemento es el inverso de sí mismo. Recibe este nombre en honor al alemán Félix Klein.
Sea C2 = {1,2} el grupo cíclico de orden dos; esto es: 22 = 1. Además sea H= C2xC2= {(1;1),(1;2), (2;1), (2;2) }. Enseguida puede realizarse el producto de pares ordenados en C2xC2. Por ejemplo (1;2))x(2;1)= (1x2; 2x1)=(2,2). Otros casos: (2;2)x(2;2) = (1,1) [1]Se observa que el producto de cualquier elemento por sí mismo es la unidad =(1,1), asi que no hay generador en H. De modo que H no es isomorfo al grupo cíclico C4= {1,b,b2,b3} de orden 4. También se tiene que (1;1)2= (1;1), (1,2)2=(1,1),(2,1)2=(1,1)y (2;2)2 = (1,1), el orden de cada elemento es 2, excepto de la identidad=(1,1), así como cada elemento es inverso de sí mismo.
- Con la identificación 1=(1,2); a= (1,2); b=(2,1) y c=(2,2) se genera la tabla que aparece en la sección siguiente.
Definición del grupo
El grupo de Klein es el grupo (K, •) donde K = {1, a, b, c} y cuya operación binaria interna • se define con la siguiente tabla:
| • | 1 | a | b | c |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | a | b | c |
| a | a | 1 | c | b |
| b | b | c | 1 | a |
| c | c | b | a | 1 |
En ocasiones, puesto que c = a•b, se escribe K = {1, a, b, ab}. Con estos nombres, la tabla de la operación es
| • | 1 | a | b | ab |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | a | b | ab |
| a | a | 1 | ab | b |
| b | b | ab | 1 | a |
| ab | ab | b | a | 1 |
Propiedades algebraicas
- El grupo de Klein es isomorfo al producto directo del grupo cíclico de orden 2 por sí mismo: K = Z2 x Z2.
- El grupo de Klein es abeliano[2], es decir, la operación interna es conmutativa.
- El grupo de Klein no es cíclico, por lo que no existe un elemento generador y, por tanto, no es isomorfo al grupo Z2.
- El orden de todos elementos es 2, excepto del elemento neutro 1 cuyo orden es 1. [3]
- El grupo de Klein tiene la representación < a, b | a2 = b2 = (ab)2 = 1 > [4]
- El grupo de Klein sólo tiene tres subgrupos propios, isomorfos al grupo cíclico de orden 2. Son lo generados por cada uno de los elementos distintos del neutro 1.
- El grupo de los giros del rombo es isomorfo al grupo de Klein[5]
- Hay un subgrupo alternante de orden 4, del grupo simétrico S4 que es isomorfo con el grupo de Klein. [6]
Véase también
Referencias y notas
- ↑ Tan igual que en el producto de restos módulo 3
- ↑ Vladimir Anashin, Andrei Khrennikov; Applied Algebraic Dynamics, Volume 49 of De Gruyter expositions in mathematics, Walter de Gruyter, (2009), p. 211
- ↑ Peter J. Cameron; Introduction to Algebra, Oxford mathematics, OUP Oxford, (2008), p.120-123
- ↑ Paul M. Cohn; Basic Algebra: Groups, Rings and Fields, Springer Science & Business Media, (2004), p. 57
- ↑ Grupo de giros del rombo:Introducción a la teoría de grupos de Alexándrov
- ↑ El grupo simétrico S3 es el conjunto de aplicaciones de un conjunto de {1,2,3,4} en sí mismo, con la composición º
