Ley de Moivre

Ley de Moivre Concepto: Regla para determinar la potencia n-ésima de un número complejo unitario expresado en su forma trigonométrica.

Ley de Moivre. En Matemáticas y más especifícamente Álgebra y Análisis Matemático expresión que expresa la potencia (inicialmente de exponentes naturales y luego reales) de números complejos normales en su representación polar, debida a Abraham de Moivre(1667 - 1754) en 1697.

Su importancia consiste en abundar en la relación entre la trigonometría y la potenciación compleja y que el resultado al poder extenderse a las potencias reales y complejas, permite la definición calculable de cualquier potencia de base y exponentes complejos.

Definición

Sea un número complejo unitario cis x puramente imaginario, donde x es un real cualquiera que representa un ángulo en radianes y n un natural cualquiera; a la expresión:

• (cis x)ⁿ = cis (nx) = cos (nx) +i sen (nx)

se le conoce como Ley o Fórmula de De Moivre.

Obtención

Partiendo de la conocida Ley de Euler:

• e^ix= cis x

Si se elevan ambos miembros a un real n cualquiera (esto evidentemente incluye a los naturales) se obtiene:

(e^xi)ⁿ = (cis x)ⁿ

y desarrollando el miembro izquierdo de la igualdad queda:

e^nxi = cis (nx) = cos (nx) +i sen (nx)

Para finalmente encontrar la fórmula de De Moivre:

(cis x)ⁿ = cis (nx) = cos (nx) +i sen (nx)

Importancia

Por una parte, la fórmula de De Moivre permite asociar la trigonometría de ángulos múltiplos con la potencia de complejos y extender esta misma idea a potencias de números reales y complejos que junto a la idea de que cada número complejo expresado en notación polar es múltiple debido a las rotaciones completas (360⁰) de cada argumento, esta multiplicidad se irradia a las operaciones de potencia, exponencial y logaritmo complejos.

Cálculo de raíces n-ésimas de un número complejo

Esta ley nos permite esclarecer el hecho de que cualquier número complejo z=a cis b tiene n raíces n-ésimas , pero también nos expresa su significado geométrico: cada raíz es un vértice de un n-gono regular inscrito en una circunferencia con centro en el origen y radio , localizados en los ángulos .

Por ejemplo al calcular la raíz sexta de 64 cis 30^o, primero debe reescribirse el número para que se incluyan en el argumento los ángulos coincidentes con 30^o. Ahora la expresión queda:

• (64 cis (30^o+360^ok))^1/6; donde k es cualquier número entero.
• = 64^1/6 cis (30^o/6 +360^ok/6)
• = 2 cis (5^o +60^ok)

y dando a k los valores 0, 1, 2..., 5, se obtienen las raíces sextas:

• 2 cis 5^o, 2 cis 65^o, 2 cis 125^o, 2 cis 185^o, 2 cis 245^o, 2 cis 305^o.

cuyas representaciones geométricas serían:

Veáse también

• Números complejos.
• Ley de Euler.
• Logaritmo complejo.
• Función exponencial compleja.

Fuentes

• I. Bronshtein, K. Semendiaev. Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes. 2da Edición. Editorial MIR, Moscú. 1973.
• Fórmula de Euler. Disponible en "es.wikipedia.org". Consultado: 1 de diciembre de 2014.
• Identidad de Euler. Disponible en "es.wikipedia.org". Consultado: 1 de diciembre de 2014.
• Fórmula de De Moivre. Disponible en "es.wikipedia.org". Consultado: 1 de marzo de 2015.