Método de los voltajes de nodos

Método de los voltajes de nodos. Concepto: Este método permite determinar los voltajes en los nodos de un circuito eléctrico.

Método de los voltajes de nodos. El método de los voltajes de nodos consiste en determinar los voltajes en los nodos (puntos de intercepción de las ramas de un circuito eléctrico), y luego calcular las corrientes en las ramas. Se fundamenta en la Ley de Kirchhoff de corrientes, la cual plantea que las cargas no se pueden acumular en ningún nodo, y en la Ley de Ohm.

Explicación del método

El método consiste, en esencia, en:
1. Escribir n -1 ecuaciones de acuerdo a la Ley de Kirchhoff de corrientes (n es el número de nodos del circuito). En estas ecuaciones aparecerán las corrientes de las ramas del circuito.
2. Plantear cada corriente de rama como la diferencia de potencial, la diferencia entre los voltajes de los nodos, multiplicada por la conductancia G [Siemens] de la rama (recuérdese que la conductancia es el valor inverso de la resistencia R [Ohm], o sea:
I rama = Δφ / R = Δφ * G = V rama * G.
3. Sustituir los valores calculados de las corrientes de ramas, en el segundo paso, en las ecuaciones inicialmente escritas.
4. Resolver el sistema de ecuaciones que se obtenga, en el cual las incógnitas serán los voltajes de nodos.
Los valores de las conductancias serán conocidos como datos, así como los valores de las fuentes de energía (fuentes de corriente y de voltaje). Estos últimos aparecerán a la derecha de cada ecuación de nodo al cual esté conectada alguna fuente. El signo del valor de las fuentes de corriente será positivo si apuntan al nodo y negativo en caso contrario y en el caso de las de fuentes reales de voltaje su valor aparecerá multiplicado por el valor de su conductancia.
Es muy importante que los valores de todas las magnitudes estén normalizados en el sistema internacional. Esto es: las resistencias en Ohm, las conductancias en Siemens, las corrientes en Amperes, los voltajes en Volt, las potencias en Watt, etc.

Generalización

Sin embargo, se puede plantear la implementación de este método de otra forma: Simplemente aterrar uno de los nodos del circuito y escribir las ecuaciones para el resto de los voltajes de los n – 1 nodos de acuerdo al siguiente modelo:

Ecuación general del método de los voltajes de nodos.

donde:

Sumatoria de las conductancias conectadas al nodo.

Sumatoria de las conductancias entre nodos.

Con los dos subíndices iguales es la suma de las conductancias conectadas al nodo p.
Con los dos subíndices desiguales es la suma de las conductancias entre los nodos j y p.
La parte derecha de cada ecuación, escrita de acuerdo a la ecuación general, es la suma algebraica de los voltajes de nodos multiplicada por la suma de todas las conductancias conectadas al nodo p, más la corriente de nodo J_p; la cual es igual a la suma de las corrientes aportadas por las fuentes de corriente conectadas al nodo. Por tanto J_sp es la suma algebraica de las corrientes de todas las fuentes que aportan al nodo p.
Si algunas corrientes de ramas fueran conocidas, se les tomará como corrientes de nodos y sus respectivas conductancias no se introducirán en las expresiones del tipo g_pp y g_jp .
Habrá siempre un nodo cuyo voltaje se asume igual a cero y como tal resulta conveniente seleccionar aquel en el cual se conecten la mayor cantidad de ramas.
El sistema de ecuaciones, en el caso de circuitos lineales, podrá resolverse manualmente, si es pequeño, o con el auxilio de medios de computo si resulta complejo por tener muchas ecuaciones. Los circuitos no lineales también se pueden resolver utilizando el método de los voltajes de nodos. Por ejemplo se puede utilizar el método de Newton para convertir el problema no lineal en una secuencia de problemas lineales.

Conductancias propias y mutuas

En cualquier circuito estarán presentes las denominadas conductancias propias y mutuas. La conductancia propia de cada nodo se determinará sumando las conductancias de cada rama conectada al mismo. A la conductancia entre dos nodos se le llama mutua.

Algunas consideraciones especiales

Si uno de los terminales de una fuente de voltaje es aterrado, automáticamente quedan definidos los voltajes en ambos terminales: uno será de cero Volt y el otro tendrá el valor del voltaje de la fuente.
Si a un nodo se conectan fuentes de voltaje reales, sin que uno de sus terminales haya sido el escogido para aterrarlo, éstas se pueden convertir en fuentes reales de corriente, para facilitar los cálculos.
Si al nodo se conectan fuentes de voltaje ideales, será necesario realizar transformaciones en el circuito, por ejemplo, sustituirlas por un nodo que se denominará supernodo. En este caso se requerirá de una ecuación adicional, que involucre a las tensiones que afectan a la fuente, o sea, a los voltajes de los nodos a los cuales está conectada la fuente y al propio valor de la fuente.
Para una rama que cuente con una fuente de corriente, el valor de la corriente de rama será el mismo que el de la fuente de corriente.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcular las corrientes en las ramas del circuito, mediante el método de los voltajes de nodos.

Circuito para el ejemplo 1.

Como se observa en este circuito, al aterrar el nodo 2 su voltaje tendrá valor cero y automáticamente el nodo s tendrá un voltaje de 5V, el valor de la fuente de voltaje.
De tal manera, solo será preciso calcular el voltaje del nodo1 (V1). Se asume a la corriente que pasa por R1 como I1, la cual va del nodo 1 al nodo s; a la corriente que pasa por R2 como I2, la cual va del nodo 1 al nodo 2 y la corriente de la fuente de corriente Is fluye según lo indica la flecha del nodo 2 al nodo1.
La LKC para el nodo 1 será:
I1 – Is + I2 =0
Ahora se escriben estas corrientes de ramas en función de los voltajes en los nodos a los cuales están conectadas:
I1 = (V1 – Vs) / R1
I2 = (V1 – V2)/ R2 = V1 / R2 (Recuerde V2 = 0)
Is = 20 mA = 0,02 A
Sustituyendo estos valores en la LKC se obtiene:
(V1 – Vs) / R1 – Is + V1 / R2 = 0
Sustituyendo los valores conocidos de Vs, R1, Is y R2; se tendrá:
(V1 – 5) / 100 – 0.02 + V1 / 200 = 0
Factorizando y pasando el término independiente a la derecha se obtiene:
V1 (0.01 + 0.005) = 0.02 + 0.05 = 0.07
De lo que resulta:
V1 = 0.07/0,015 = 4,667 Volt
Conocidos ya todos los voltajes de nodos, esto es: Vs = 5 V, V1 = 4.667 V y V2 = 0; se pueden calcular las corrientes desconocidas de ramas. Son ellas:
I1 = (V1 – Vs) / R1 = (4.667 – 5) / 100 = -0,00333 A
I2 = (V1 – V2)/ R2 = 4.667 / 200 = 0,02333 A.
Para comprobar el resultado, se sustituyen los valores de las corrientes recién calculadas en la LKC escrita al inicio para el nodo 1.
I1 – Is + I2 =0
-0,00333 - 0.02 + 0,02333 = 0

Ejemplo 2

Calcular el voltaje en el nodo 1 del circuito anterior, mediante el método de los voltajes de nodos, utilizando la ecuación general.
Como ya se dilucidó, en este circuito solo hay que escribir una ecuación, que será para el nodo 1.
La ecuación general aplicada a este caso resultará:

Ecuación general en el ejemplo 2.

O sea:
g11 V1 = J sp
Donde g11 es la conductancia propia del nodo 1 e J sp es la suma algebraica de las corrientes en ese propio nodo, aportadas por las fuentes de energía.
g11= g1 + g2 = 1 / R1 + 1 / R2 = (1 /100) + (1 / 200) = 0.01 + 0,005 = 0,015 S
J sp = Is + (Vs * g1) = 0.02 + (5 / 100) = 0.07 A
g1 = 1 /R1 = 1 /100 = 0.01 S
Por tanto:
V1 = (Js + (Vs * g1)) / g11 = (0.02 + (5 * 0.01)) / 0.015 = (0.02 + 0,05) / 0,015
V1 = 0,07 / 0,015 = 4,667 V

Fuentes

• Ayllón Fandiño, E. (1987). Fundamentos de la teoría de los circuitos eléctricos II. La Habana: Pueblo y Educación.
  
• Bessonov, L. A. (1984). Teoreticheskie osnovi electrotejniki. Moscú: Vysshaia shcola.
  
• Evdokimov, F. E. (1981). Teoreticheskie osnovi electrotejniki. Moscú: Vysshaia shcola.
  
• Kasatkin, A. S., Nemtsov, M. V. (1983). Electrotejnika. Moscú: Energoatomizdat.
  
• Kerchner, R. M., Corcoran, G .F. (1975). Circuitos de corriente alterna. La Habana: Pueblo y educación.
  
• Neiman, L. R., Demirchian, L. R. (1981). Teoreticheskie osnovi electrotejniki. Leningrado: Energoizdat.
  
• Zeveke, G. V. (1979). Analysis and synthesis of electric circuits. Moscú: Mir.