Número gausiano primo

Número gausiano primo. Dentro de los enteros positivos hay un subconjunto infinito el de los conocidos números enteros primos, que se caracterizan por tener exactamente dos divisores: el 1 y el mismo número. De la misma manera en el conjunto Z[i] de todos los números gausianos enteros hay elementos que tienen el mismo comportamiento que los enteros primos, (comúnmente conocidos por números primos).

Definición

un número gausiano entero p se llama gausiano primo si en cualquiera de sus descomposiciones p = s•t en un producto de dos números gausianos enteros uno de de los factores s o t es divisor la unidad, o sea de los cuatro únicamente: 1, -1, i, -i.

O equivalentemente, número gaussiano primo p es número gausiano entero, distinto de cero, cuya norma es mayor que 1 y que tal número no puede ser descompuesto como producto de dos números gausianos, cuyas normas sean estrictamente menores a las del número p.

Ejemplos

p = 4+i cuya norma es N(p) = 17

p₁ = 2 -3i, de norma N( p₁) =13

p₂ = 5 +2i, cuya norma es ( Np₂) = 29

De modo general, serán gausianos primos todos los que tienen como norma un entero primo de terminada forma.

Teorema de la descomposición

Cualquier número gausiano entero ω ≠ 0 puede ser descompuesto en un producto de números gausianos primos

ω = l•m•••q

los factores son números gausianos primos que pudieran no ser diferentes. Esta descomposición es unívoca: pues cualquiera otra descomopsición incluirá los mismos factores, salvo el orden. Este teorema en esencia es lo mismo que un teorema de la teoría de números sobre la descomposición de un entero compuesto como producto de números primos que puduen aparecer hasta con ciertas potencias enteras.

Números asociados

dos números gausianos enteros se llaman asociados si se diferencian entresí en un factor igual a un divisor de unidad, esto es, b, -b, ib, -ib son númros gausianos enteros asociados si b es número gausiano entero cualquiera.

Proposición

Todo gausiano primo es divisor de un racional primo.

Como ejemplo, el gausiano primo 4 + i es divisor de del racional primo 1, pues (4+i)•84-i) = 17.

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Fuente bibliográfica

• A, A. Belski / L. A. Kaluzhnin: División inexacta Editorial Mir, Moscú (1980). Traduce del ruso: Ingº Antonio, Molina García.
• Abramo Hefez: Curso de álgebra Ediición del Instituto de Matemática y Ciencias Afines IMCA Lima (2001)