Obtención de raíces

Obtención de raíces

Obtención de raíces
En matemática existen métodos de obtención de raíces de forma interactiva. Estos métodos son utilizados para calcular aproximadamente la raíz de una ecuación que por los métodos tradicionales no tienen solución.

Método de bisección

Unas cuantas iteraciones del método de bisección aplicadas en un intervalo [a₁;b₁]. El punto rojo es la raíz de la función.

El método consiste en aproximar la raíz de la ecuación como el punto medio del intervalo [a, b]. Evaluando la función en este punto se decide si la raíz se encuentra en la mitad izquierda del intervalo o en la mitad derecha. De esta manera, una de las dos mitades queda descartada y la amplitud del nuevo intervalo de búsqueda es exactamente un medio del anterior. A medida que este proceso se repite, el intervalo de búsqueda va disminuyendo en amplitud. Si se conviene en llamar [a₁, b₁] al intervalo inicial, entonces, en la interacción número n del método se tiene: X_n=(a_n+b_n)/2 para n=1,2,3,4………

Hipótesis

Sea la ecuación f(x)=0 y un intervalo [a, b] tales que:

1. En el intervalo la ecuación tiene una sola raíz.
2. f(x) es continua en [a, b].
3. f(x) posee signos diferentes en a y en b, es decir, f(a).f(b)<0.

Condición de terminación

Si se desea obtener la raíz de la ecuación con un error absoluto menor que ε, el método de bisección se llevará a cabo hasta la aproximación xn para la cual: E_m(X_n)=(b_n-a_n)/2≤ε

Algoritmo en seudocódigo

Se supone que la ecuación a resolver es f(x)=0, cumpliendo con las condiciones de la Hipótesis. Se supone conocida la función f(x), los extremos a y b del intervalo de separación y la toleracia ε que se permitirá. repeat
x:=(a+b)/2
Error:=(b-a)/2
if f(x)=0 then
x es exactamente la raíz buscada
terminar
else
if f(a).f(x)<0 then
b:=x
else
a:=x
end
end
until Error≤ ε
la raíz buscada es x y su error absoluto máximo es Error
Terminar

Comentarios finales

El método de bisección es el más sencillo de los métodos para determinar raíces reales de ecuaciones. Es un método poco eficiente en comparación con otros métodos por lo cual no es recomendable si los cálculos (sobre todo, la evaluación de f(x)) hay que realizarlos a mano. Por otra parte, el método de bisección posee varios atractivos importantes:

• Las condiciones que se requieren para su aplicación son mínimas, de hecho f(x) solo requiere ser continua en el intervalo de separación.
  
• El algoritmo posee una lógica muy simple y es muy fácil de programar.
  
• La rapidez de la convergencia es independiente de la función f(x), por lo cual no existen temores de que se presente casos patológicos, cuestión presente en casi todos los métodos más eficaces.
  
• La acotación del Error es muy simple, además, segura y es también independiente de las características que posea la función f(x).
  

Todo lo anterior se resume en una sola frase: No es un método rápido pero es el más robusto de todos los procedimientos para hallar raíces reales de ecuaciones.

Regula Falsi

El nombre de este método proviene de una frase latina que significa regla inclinada y geométricamente consiste en tomar como aproximación de la raíz en el intervalo [a_n,b_n] el punto de intersección con el eje x de un segmento que une los extremos del arco de la gráfica en ese intervalo. Por esta razón, también se le conoce como método de las cuerdas.

Hipótesis

Se desea hallar la raíz r de una ecuación f(x)=0 que se encuentra en el intervalo [a, b].

1. En el intervalo la ecuación tiene una sola raíz.
2. f(x) es continua en [a, b].
3. f(x) posee signos diferentes en a y en b, es decir, f(a).f(b)<0.

Condición de terminación

Si se desea obtener la raíz de la ecuación con un error absoluto menor que ε y se satisfacen las hipótesis, el método de Regula falsi se llevará a cabo hasta la aproximación X_n para la cual: E_m(X_n)=|X_n-X_n-1|≤ε

Algoritmo en seudocódigo

Se supone que la ecuación a resolver es f(x)=0, y que cumple con la Hipótesis. Se suponen conocidas la función f(x), los extremos a y b del intervalo de separación y la tolerancia ε que se permitirá.
X_anterior:=10⁶
repeat
x:=a-(b-a)/(f(b)- f(a))*f(a)
Error:=|x-x_anterior|
if f(x)=0 then
x es exactamente la raíz buscada
Terminar
else
if f(a)f(x)<0 then
b:=x
else
a:=x
end
end
x_anterior=x
until Error <= ε
La raíz buscada es x y su error absoluto máximo es Error
Terminar

Comentarios finales

El método de Regula Falsi puede considerase como una modificación del método de bisección para mejorar la velocidad de convergencia. Aunque para que esta se produzca basta con que se cumplan hipótesis muy sencillas, para lograr una buena velocidad se requiere condiciones más fuertes, en particular que la gráfica de la función f(x) presente poca curvatura. En el caso extremo en que la gráfica es lineal, la convergencia se produce en una sola iteración. La condición de curvatura pequeña en el intervalote búsqueda siempre puede lograrse reduciendo la amplitud de [a, b], lo cuales muy sencillo si se puede visualizar la gráfica en un display. El algoritmo es bastante sencillo de programar y difiere del de bisección solamente en algunos detalles.

El método de Newton-Raphson

El método de Newton-Raphson utiliza para su aplicación la recta tangente,es más eficiente que el método de bisección

Este importante método numérico puede concebirse como una forma sistemática de aplicar el método iterativo de manera que se obtenga una rápida convergencia. Considérese la ecuación f(x)=0 cuya raíz r se desea hallar. La función f(x) se supone derivable todas las veces necesarias en las proximaciones de r. Si la ecuación se multiplica por una constante A ≠ 0 y se suma x en cada miembro, se obtiene la ecuación equivalente: . La ecuación se ha escrito de la forma x=g(x), donde g(x)=x+Af(x). La idea es hallar un valor de A tal que la derivada de g(x) sea muy pequeña en valor absoluto en las proximidades de la raíz r.

Condición de terminación

Si se desea obtener la raíz de la ecuación con un error absoluto menor que ε el [[método] de Newton-Raphson se llevará a cabo hasta la aproximación x_n para la cual: E_m(X_n)=|X_n -X_n-1|≤ε

Algoritmo en seudocódigo

Se supone que la ecuación a resolver es f(x)=0, que la raíz que se quiere hallar está separada dentro de un intervalo [a, b] en el cual f(x) y sus primeras derivadas son continuas y que f’(x) y f’’(x) no se anulan en [a, b]. Se suponen que x₀ se ha seleccionado dentro del intervalo [a, b] de modo que se cumple f(x)f’’’(x0)>0 (es decir, el signo de la función coincidiendo con el sentido de la concavidad). Se suponen conocidas las funciones f(x) y f ’(x), la aproximación inicial x₀ y la tolerancia ε que se permitirá. X_aterior:=x₀

repeat
x:=x_anterior-(f(x_anterior))/f'(x_anterior)
Error:=|x-x_anterior|
x_anterior:=x
until Error < ε
La raíz buscada es x y su error absoluto es Error
Terminar

Comentarios finales

El método de Newton-Raphson es, generalmente, un método de convergencia rápida, aunque está rapidez depende de la función f(x) y de la aproximación inicial que se elija; usualmente con cuatro o cinco iteraciones se obtiene la raíz con cuatro cifras decimales exactas. Esta características hace aconsejable el empleo de este algoritmo en el trabajo a mano o cuando las limitaciones de tiempo obliguen a utilizar un método muy eficiente para el cálculo de raíces. Su mayor inconveniente es la necesidad de hallar la primera derivada de f(x), lo cual puede ser muy engorroso y hay que hacerlo casi siempre fuera de la máquina.

El método de las secantes

El método de las Secantes utiliza para su ejecución la pendiente de la recta secante a la gráfica f(x). Este método requiere dos aproximaciones iniciales ya que la secante se determina por dos putos de la curva.

El método de las secantes es una modificación del método de Newton-Raphson dirigida a eliminar la necesidad de utilizar la función derivada. Para ello, se sustituye la pendiente de la recta tangente por la pendiente de una recta secante a la gráfica de f(x). El método de las secantes requiere de dos aproximaciones iniciales de las raíz r, ya que una secante se determina puntos de la curva.

Condición de terminación

Si se desea obtener la raíz de la ecuación con un error absoluto menor que ε, el método de las secantes se llevará a cabo hasta la aproximación x_n para lo cual: E_m(X_n)=|X_n - X_n-1|≤ε

Algoritmo en seudocódigo

Se supone que la ecuación a resolver es f(x)=0 , que la raíz que se quiere hallar está separada dentro del intervalo [a, b]. Se supone que x₀ y x₁ se han seleccionado dentro del intervalo [a, b] lo suficientemente próximos a r para que el algoritmo converja. Se supone conocidas la función f(x), las aproximaciones iniciales x₀ y x₁ y la tolerancia ε que se permitirá.
x_a:=x₀
y_a:=f(x_a)
x_b:=x₁
y_b:=f(x_b)
repeat
x_c:=x_b-(x_b-x_a)/(y_b-y_a)*y_b
y_c:=f(x_c)
Error:=|x_c-x_b|
x_a:=x_b
y_a:=y_b
x_b:=x_c
y_b:=y_c
until Error < ε
La raíz buscada es x y su error absoluto máximo es Error.
Terminar.

Comentarios finales

El método de las secantes posee varias características muy positivas, principalmente su rapidez de convergencia. Si esta se mide en cantidad de iteraciones necesarias para obtener la raíz con cierta exactitud, entonces esta velocidad es ligeramente menor que la de Newton-Raphson; sin embargo, como este método requiere evaluar dos funciones en cada paso mientras que el algoritmo de las secantes sólo se evalúa una función, el método de las secantes es casi siempre más rápido. Otro aspecto favorable es le hecho de que no se requiere conocer la primera ni la segunda derivadas de la función; sólo se necesita que estas sean continuas y no se anulen, lo cual puede verificarse con la observación de la gráfica de f(x) obtenida en la pantalla. Un inconveniente del método es la posibilidad de no convergencia a la raíz si las aproximaciones iniciales no están tan cerca de ellas.

Fuente

Manuel Alvarez Blanco, Alfredo Guerra Hernández, Rogelio Lau Fernández. Matemática numérica publicado por Editorial Félix Varela, 2004.