Probabilidad geométrica
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Probabilidad geométrica. En matemáticas, especificamente en teoría de los eventos estocásticos, se refiere a resultados de la probabilidad (medida de un evento estocástico) de pertenencia (posición) de un punto de una figura cerrada de la recta, del plano o del espacio, pertenezca también a una subfigura (subconjunto) de ella. En la recta tenemos los segmentos ( intervalos cerrados) y sus subsegmentos; en el plano, particularmente las figuras planas simples y convexas y sus subfiguras planas; en el espacio los poliedros, conos, cilindros y esferas y subfiguras espaciales, inscritas o construidas en su respectivo interior.
Supongamos que el segmento m sea subconjunto del segmento M. En el segmento M se señala un punto al azar, aceptando que la probabilidad de que el punto se localice en el segmento m es proporcional a la longitud de este segmento y no depende de su ubicación con respecto al segmento M definimos la
Sumario
Probabilidad geométrica en la recta
Únicamente vamos a relacionar segmentos y sus segmentos, aunque podemos trabajar una colección finita de segmentos disjuntos dos a dos y una subcolección de ellos. La probabilidad de pertenencia de un punto del segmento M esté a la vez sobre su subsegmento m, se obtiene por la fórmula
P= longitud de m: longitud de M ( g1)
- que obviamente es la probabilidad de que el punto pertenezca al segmento m
Ejemplo Un segmento M de longitud 48 cm contiene un segmento m de 32 cm . hallar la probabilidad de que un punto indicado aleatoriamente en el segmento M esté también en M. Se asume que tal probabilidad no depende de la posición de m en M, pero es proporcional a la longitud de m.
Resolución Sea el suceso H = {un punto del segmento M marcado al azar, también está en el segmento m} usando la fórmula g1 la probabilidad del suceso H resulta
P(H) = 32:48= 1/3
Probabilidad geométrica en el plano
La probabilidad de pertenencia de un punto de la figura plana F esté también en la subfigura f que es parte de F, es una razón de áreas.
- Se supone que la probabilidad es proporcional al área de f y no depende de su posición en la figura F ni de la forma de f y F.
- Definimos la probabilidad de que el punto pertenezca a f es
P = Sf : SF; aquí S- denota la respectivas áreas de las figuras f y F. Ejemplo En el interior de un círculo de radio r se marca un punto al azar. Hallar la probabilidad de que de que este punto pertenezca al interior de un hexágono regular inscrito en círculo. Se supone que tal probabilidad es proporcional al área del triángulo y no depende de la disposición de este en el círculo. Resolución
- Área del círculo es 22/7 r2 = Sc
- Área del hexágono inscrito 1.5r2 × (3)0.5 = Sh
- Suceso H = {Un punto del círculo marcado al azar también pertenezca al hexágono inscrito}
P(H) = Sh÷Sc = 1.5r2 × (3)0.5 ÷ 22/7 r2 = Sc = 0.8266061...
Probabilidad geométrica en el espacio
Nos interesa hallar la probabilidad de un punto seleccionado al azar en una figura espacial K esté a la vez en su subfigura espacial k de la misma.
- Se asume que la probabilidad es proporcional al volumen de k y no depende de su posición en la figura K ni de la forma de k ni de y K.
- Definimos la probabilidad de que el punto esté también en k es
P = Vk : VK; aquí hemos hallado el cociente de los respectivos volúmenes de la subfigura y la figura dadas. Ejemplo En los centros de cada una de 6 las caras de un cubo de lado L están los vértices de un octaedro. Hallar la probabilidad de que un punto en el interior del cubo, marcado aleatoriamente, esté también en el interior del octoedro. Se supone que aquella probabilidad es proporcional al volumen del octoedro y no depende de su posición particular en el cubo. Resolución
- Volumen del cubo L3 = Vc
- Volumen del octoedro es 1/6L3 = Vo
- Suceso D = {un punto del cubo marcado al azar esté también en el octoedro con sendos vértices de las 6 caras del cubo}
P(D) = Vo ÷ Vc = 1/6L3 ÷ L3 = 1/6
Práctica social
Accidente de carretera
- Consideremos la carretera costanera de Lima a Tumbes tiene una longitud de 1271.6 km y la de Trujillo a Chiclayo es de 207.7 km. Se supone que las cuatro ciudades son localidades (puntos) de la misma carretera y están en sucesión Lima- Trujillo- Chiclayo y Tumbes. Se reporta que ha ocurrido un choque de camiones en la carretera costanera, se quiere hallar la probabilidad de que haya ocurrido en un punto del tramo Trujillo- chiclayo.
Solución
- Se puede asumir la carretera como una curva simple, sin autointersecciones e imagen de un intervalo, y aplicar la probabilidad geométrica de la recta.
- Sea el suceso A = {punto de la carretera de Lima a Tumbes que esté también entre Trujillo y Chiclayo}
- La probabilidad del suceso es P(A) = long (Trujillo-Chiclayo) ÷ long( Lima- Tumbes) = 207.7/1271.6 = 0.163259
Caída de avión Se nos reporta la caída de avión en un lugar de España, si queremos saber la probabilidad de que el lugar del accidente aéreo, esté también en Cataluña, la obtenemos hallando el cociente de las superficies de Cataluña y España, que son 32,108 km2 y 505,990 km2 respectivamente; aplicando la probabilidad geométrica en el plano.
- El suceso C = { lugar de España de la caída de un avión que también esté en Cataluña}
- La probabilidad de C es P(C) = Superficie de España ÷ Superficie de Cataluña = 32,108 ÷ 505,990 = 0. 0634558
Solar nativo Si se conoce el país donde nació una persona y se quiere saber la probabilidad de que haya nacido además en una región administrativa del antedicho país, se puede aplicar la probabilidad geométrica plana, considerando el habitante como un punto y el país y su región administrativa, como figura y subfigura planas.
Fuentes
- Luis A. Santaló: Probabilidad e inferencia estadística, edión de OEA, Washingron D. F. 1975
- V. Boss: Probabilidad * Información * estadística Editorial URSS, Moscú 2008
- V. Petrov y E. Mordecki: Teoría de probabilidades, Editorial URSS, Moscú 2002
