Semigrupo

Semigrupo Concepto: Sistema algebraico de un conjunto y una ley de composición interna sobre el conjunto que es asociativa.

. En Álgebra, semigrupo es un sistema algebraico determinado por el par <G,*>, tales que G es un conjunto no vacío y * es una ley de composición interna; por lotanto cumple las propiedad clausurativa, y además es asociativa.

En el caso que <G,*> sea semigrupo y la operación sea conmutativa se dice que es un semigrupo conmutativo o abeliano.

Definición.

Sea un conjunto G y la operación binaria * definida como *(x,y)=z, normalmente escrita como x*y=z que satisface los axiomas:

1. Clausura: . * es cerrada.
2. Asociatividad: Para todo x, y, z de G, (x*y)*z=x*(y*z).

Se dice que G con la operación * es un semigrupo.

Nótese que los semigrupos se diferencian de los grupos en que estos son semigrupos que además tienen elemento neutro y por cada elemento del conjunto tienen uno y solo un elemento inverso.

Ejemplos.

1. Todo grupo <G,*> es un semigrupo.
2. Los siguientes son semigrupos representados en forma tabular:

<{a,b},@>	<{a,b,c},*>
@ a b a a b b b a	* a b c a a b c b b c a c c a b

Otros casos

• Sea S un conjunto no vacío a un elemento fijo, definamos x*y = a, para cualesquiera x, y elementos de S. La clausura de * se cumple.

La propiedad asociativa: (x*y)*z = a*z = a=x*a= x*(z*t). Trivialmente, todo conjunto no vacío con la ley de composición interna *, resulta un semigrupo.

• El conjunto N = {0,1,2...n,...} de los naturales con la adición y la multiplicación es un semigrupo, pues estas dos operaciones son leyes de composición interna, esto, es a cada par de n. naturales le corresponde un número natural que es su suma o producto según el caso. Sin embargo N o es semigrupo con la resta, pues esta es una operación parcialmente definida, ya que para algunos pares ordenados de n. naturales no existe su diferencia; lo mismo para la división de n. naturales.
• En el caso de los números enteros, la sustracción es una operación totalmente definida, es una ley de composición interna; sin embargo, no se cumple la propiedad asociativa; pues los casos a-(b-c) y (a-b)-c en casi todos los casos. De modo que el conjunto Z de los n. enteros no es un semigrupo con la sustracción.

Este mismo conjunto de los n. enteros es un semigrupo con la multiplicación de números enteros pares; pues se cumple que el producto de dos números pares es par y se cumple la propiedad asociativa.

• Sea T el conjunto de las potencias de tres , siendo T = {3ⁿ: n es un número entero} el conjunto T con la multiplicación es un semigrupo, ya que el producto de dos potencias de 3 es una potencia de 3; además el producto en T, hereda la propiedad asociativa del producto de los enteros, por ser un subconjunto de Z.

• El conjunto de los números enteros impares con la multiplicación es un semigrupo, ya el producto de impares es impar, lo es también asociativo; pero no es semigrupo con la adición, pues la suma de dos impares es par, aunque se cumple la asociatividad.

• El conjunto de los números enteros primos no es semigrupo ni con la adición ni con la multiplicación; pues la suma de dos enteros primos, casi en todos los casos , no es primo; y en el caso del producto de dos primos, se rompe la primalidad, el producto ya tiene cuatro divisores y por lo tanto deja de ser primo.

Afirmaciones

• Sea t= {...[(b₁b₂)b₃]a₄...} un producto de n elementos b₁, b₂,...b_n de un semigrupo multiplicativo, entonces cualquier producto t´ formado por los factores b₁, b₂,...b_n tomados en ese orden es igual a t. Es el caso de la propiedad asociativa generalizada.
• En un semigrupo cabe hablar de potencia k-ésima de un elemento b, producto de k elementos b. Se denota b^k, conllevando la regla

bⁱb^j = b^i+j.

• En el caso de un semigrupo abeliano- conmutativo-, el producto

t = b₁b₂...b_m no depende del orden de los factores.

• Toda imagen homomorfa de un semigrupo es un semigrupo.
• En un semigrupo S, el centro C es una parte estable ( ocasionalmente vacía).

Fuentes.

1. Carl B. Allendoerfer, Cletus O. Oakley. Introducción moderna a la matemática superior. Ediciones del Castillo, Madrid. 1967.