Teorema del coseno

Teorema del coseno Concepto: Teorema considerado una generalización del Teorema de Pitágoras a todo tipo de triángulo.

Teorema del coseno. En Geometría y más específicamente en Geometría euclidiana, se trata de un teorema de la trigonometría que en cada triángulo indica que el cuadrado de la longitud de cada lado guarda una relacion con los cuadrados de los lados restantes y el ángulos que estos comprenden.

Definición.

Sea un triángulo cualquiera como el de la figura:

El teorema de los cosenos plantea que el cuadrado de la longitud de un lado es la suma de los cuadrados de las longitudes de los lados restantes menos el duplo del producto de dichas longitudes multiplicado por el coseno del ángulo opuesto al lado en cuestión.

Esto se expresa mediante las expresiones:

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Implicaciones e importancia.

El teorema de los cosenos juega un papel de gran relevancia en el cálculo y definición de superficies y volúmenes, junto con la desigualdad triangular, el teorema de los cosenos y de las tangentes permiten una caracterización de los elementos conformantes (las longitudes de los lados y amplitudes de los ángulos interiores de los triángulos), de manera que primero pueda distinguirse que estos conforman un triángulo y además la relación de los mismos con sus ángulos, entre otras muchas propiedades.

Se considera una generalización del Teorema de Pitágoras que se aplica sólo a triángulos rectángulos, mientras el teorema de los cosenos establece una caracterización sobre cualquier tipo de triángulos,incluso, como caso particular, los rectangulos, para los cuales, el coseno del ángulo opuesto a la hipotenusa es 0, regresando al histórico resultado.

Por ejemplo, veamos el caso de la particularización de los isósceles según el teorema:

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donde l es la longitud del lado igual y b la del lado base.

Veáse también.

• Teorema del seno.
• Teorema de la tangente.

Fuentes.

1. I. Bronshtein, K. Semendiaev. Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes. 2da Edición. Editorial MIR, Moscú. 1973.
2. Colectivo de autores. Matemática 10mo grado. Editorial Pueblo y Educación, La Habana. 1989.
3. Teorema de los senos en Wikipedia. Revisado 29 de marzo de 2012.
4. Problemas resueltos: teorema del coseno (matesfacil.com)