Bisectriz (Fórmulas)

Bisectriz. Para el triángulo ACB, consideremos el punto H sobre el lado AB. El segmento CH se llama una bisectriz del triángulo si está contenido en la bisectriz del ángulo ACB. Más precisamente, bisectriz interior del ángulo C. De modo que considerando cada vértice, se puede definir tres bisectrices del triángulo ABC, partiendo cada una del correspondiente vértice y lo une con un punto del lado opuesto.

Propiedades

  • Las tres bisectrices de un triángulo están el interior de tal triángulo excepto sus extremos.
  • Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto interior único, llamado incentro. Este punto está a la misma distancia de los lados, por estar en la intersección de tres ejes de simetría.
  • A cualquier triángulo se puede inscribir un círculo, cuyo centro será la intersección de cualquier par de bisectrices del triángulo.

Proposiciones

  • La bisectriz divide al lado opuesto de su vértice en segmentos proporcionales a los lados que lo comprenden.
  • La bisectriz de un triángulo divide el área de este en una relación proporcional a los lados que lo comprenden,llamados también adyacentes.
  • el cuadrado de una bisectriz es igual al producto de los lados adyacentes, menos el producto de los segmento aditivos del tercer lado determinados por tal bisectriz.

Longitudes de bisectrices

Para cada bisectriz se puede obtener una fórmula que involucra los tres lados, se va a representar por w con subíndice la letra del ángulo.

Usando tres lados

  1. wA = s/t donde s es la raíz cuadrada de bc[(b+c)2 - a2] y t = b+c
  2. wB = s/t donde s es la raíz cuadrada de ac[(a+c)2 - b2] y t = a+c
  3. wC = s/t donde s es la raíz cuadrada de ba[(b+a)2 - c2] y t = b+a [1]

Empleando lados y semiperímetro

  1. wA = 2u/v, donde u = raíz cuadrada de bcp(p-a), el semiperímetro p= 0.5(a+b+c) y v = b+c [2]
  2. wB = 2u/v donde u = raíz cuadrada de acp(p-b) y v = a+c
  3. wC = 2u/v, siendo U = raíz cuadrada de abp(p-c) y v = a+b

Recurso trigonométrico

  1. wA= mh(b,c)×cos (A/2), siendo mh(b,c) la media harmónica de b y c; el recíproco de la media aritmética de los recíprocos. mh(b,c)= 2bc÷(b+c) [3]
  2. wB = mh(a,c)×cos (B/2)
  3. wC = mh(a,b)×cos (C/2)

Fuentes

  • A. G. Tsipkin: Manual de matemáticas, Editorial Mir, Moscú
  • G. M. Bruño Elementos de geometría Editorial Bruño, Avenida Arica 601, Lima

Consúltese además

  • Ángulo
  • Triángulo

Referencias

  1. ↑ Bronshtein/ Semendiaev Manual de matemáticas para... Editorial Mir, Mooscú, 2ª edición
  2. ↑ Vodney y otros: Fórmulas matemáticas fundamentales, Euro- Omega / Madrid -Moscú, 1995
  3. ↑ Bronshtein et al. Op. cit.
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