Número dual (matemáticas)

Los números duales, en matemáticas y especialmente en análisis complejo, extienden los números reales al incorporar un nuevo elemento ε, con la propiedad de que ε² = 0 (es decir, ε es nilpotente). No tienen ninguna relación con la solución de las ecuaciones de 2do grado con coeficientes reales. Las aplicaciones fundamentales se hallan en la geometría. Ellos fueron introducidos por el geómetra alemán Edward Study. Tiene algunas utilizaciones en la teoría de números.

Definición

Un número dual es w= l +mε, donde ε² = 0 y tanto l como m son reales, guarda cierta analogía con un número complejo ordinario: z = a +bi, donde a y b están en R, i² = -1.

Operaciones enteras

La adición, la substracción y la multiplicación de los números duales se definen a través de las fórmulas

1. (l + mε)+( n + pε ) = (l+n) + (m+p)ε
2. (l + mε)- ( n + pε ) = (l-n) + (m-p)ε
3. (l + mε) × (n + pε) = ln + (lp+mn)ε,

La última fórmula nos hacer ver que el producto de un dual w = l +mε por un z = n+pε si lp+mn = 0; de donde si l≠ 0 resulta m/l = -p/n

Por otra parte el producto de w =l + mε con w* = l - mε es un número real

w·w* = (l + mε)(l - mε)= a²

Conjugados

El número w* = l-mε se denomina el conjugado del número w= l + mε y recíprocamente w* es conjugado de w. La raiz cuadrada l del producto ww* ( de igual valor que (w+w*)/2) se denomina el módulo del número w y se denota con |w|

1. la suma w + w* = 2l de dos números conjugados es un número real:
2. la diferencia w - w* = 2mε es un imaginario puro es decir se distingue de ε sólo en un factor real m-
3. además w coincide con su conjugado s.s.s es real
4. cabe (z+w)* = z* +w*; (zw)* = z*w*

División

El cociente (n+pε):(l +mε) =n/l +(-mn+lp)ε/l², de ahí para que la divisíon sea factible, se requiere que el módulo l de w sea diferente de 0; sin embargo, en contraposición a los complejos ordinarios, un número dual de módulo nulo, puede no ser 0. caso: w = pε

Fuente

• I.M. Yaglom: Números complejos y sus aplicaciones en la geometría, editorial URSS, Moscú- 2011
• https://lengua.laguia2000.com/gramatica/numero-dual