Bifurcación transcrıtica
Bifurcación transcrıtica
En matemática, una bifurcación transcrıtica es una bifurcación local o global de una ecuación diferencial ordinaria. Este tipo de bifurcación solo se da cuando el sistema tiene un punto que existe para todos los valores del parámetro que nunca puede ser destruido. Cuando este punto choca con otro también igual, los dos puntos intercambian sus estabilidades, y continúan existiendo después de la bifurcación.
Una bifurcación transcrítica es un tipo de bifurcación que puede ser local, lo que significa que se caracteriza por un equilibrio que tiene un valor propio (o eigenvalor), cuya parte real pasa a través de cero.
La bifurcación transcrıtico surge en sistemas en los que hay una cierta base "trivial" rama solución, que corresponde a x = 0, y que existe para todos los valores del parámetro C.
(Esto difiere de el caso de una bifurcación silla-nodo, donde existen las ramas de soluciones localmente sólo en un lado del punto de bifurcación.).
Hay una segunda rama solución x = C que atraviesa la primera uno en el punto de bifurcación (x, C) = (0, 0).
Cuando se cruzan las ramas, una solución va de estable a inestable, mientras que el otro va de estable a inestable.
Este fenómeno se conoce como un "intercambio de estabilidad".[1]
Forma
La forma normal es:
dx/dt = Cx ∓ x2
La forma normal de una bifurcación es un sistema dinámico simple que es equivalente a todos los sistemas que muestran esta bifurcación.[2]
Ejemplo 1
El ejemplo de una bifurcación transcrıtica de la ecuación diferencial:
- dx/dt = Cx – x2
tiene 2 equilibrios: x = 0, x = C
- con f(x, C) = Cx – x2
- df/dx (x, C) = C – 2x
- df/dx (0, C) = C
- df/dx (C, C) = -C
el equilibrio x = 0 es estable, y no estable para C > 0, mientras que el equilibrio x = C no es estable para C < 0 y estable para C > 0.
Tome atención a que mientras x = C es estable para C < 0, no es estable global, solo local. (vea el efecto de perturbaciones negativas de tamaños mas grande que C).
Véase también
- Bifurcaciones de ecuaciones diferenciales
- Bifurcación tridente
- Bifurcación silla-nodo
- Bifurcación de Hopf
Referencias
- ↑ Hunter, Universidad de California, Davis https://www.math.ucdavis.edu/~hunter/m207/ch2.pdf
- ↑ Guckenheimer, John; Holmes, Philip (1983), Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields, Springer, Section 3.3, ISBN 0-387-90819-6.
