Bifurcación silla-nodo
Bifurcación silla-nodo
En matemática, una bifurcación silla-nodo (o tangente, o en inglés “saddle-node”, "tangent, o "fold") es una bifurcación local o global de una ecuación diferencial ordinaria en la que dos puntos fijos (o equilibrios, o críticos) de un sistema dinámico chocan y se aniquilan entre ellos mismo. La frase “bifurcación silla-nodo” se utiliza con frecuencia en referencia a sistemas dinámicos continuos. En los sistemas discretos, la misma bifurcación tiene el nombre (“bifurcación de fold”). Bifurcaciones silla-nodo son la forma genérica que el número de soluciones de equilibrio de un sistema dinámicos cambia cuando algún parámetro es variado.
Cuando la bifurcación es global (no local), va por el nombre bifurcación de cielo azul en referencia a la creación de dos puntos fijos.[1]
Bifurcaciones silla-nodo son asociados con ciclos de histéresis y catástrofes. Si el espacio de fase es unidimensional, uno de los puntos de equilibrio es inestable (la silla), mientras que la otra es estable (el nodo).
El nombre de "silla-nodo" viene de la bifurcación de dos dimensiones en el plano de fase, en la que un punto de silla y un nodo se unen y desaparecen, pero la otra dimensión no es significativa y esta bifurcación es unidimensional naturalmente.
Definición
Si la ecuación diferencial ordinaria dx/dt = f(x, C), descrita por un solo parámetro C de la función f(x, C), con C siendo un miembro o elemento de los números reales (C ∈ R), y f(x, C) es una función a lo cual:
f(0, Co) = 0, y ademas:
df/dx (0, Co) = 0; d2f/dx2 (0, Co) > 0;
df/dc (0, Co) > 0
entonces existe un intervalo entre (C1, 0) y (0, C2) con e>0 donde
1. Si C ∈ (C1, 0), entonces fc(x) tiene 2 puntos fijos en (-e, e) con el positivo siendo no estable y el negativo estable;
2. Si C ∈ (0, C2), entonces fc(x) no tiene puntos fijos en (-e, e). [2]
Forma
La forma normal es:
dx/dt = C ∓ x2, donde C es el parámetro.
La forma normal de una bifurcación es un sistema dinámico simple que es equivalente a todos los sistemas que muestran esta bifurcación.[3]
Ejemplo 1
Un ejemplo de una bifurcación silla-nodo en dos dimensiones se produce en el sistema dinámico con la ecuaciones diferenciales:
- dx/dt = C – x2
- dy/dt = -y
vea que:
- 1. Cuando C > 0, hay dos puntos de equilibrio: un punto silla otro nodo (sea un atractor o un repulsor).
- 2. Cuando C = 0, hay un punto silla-nodo.
- 3. Cuando C < 0, no hay puntos de equilibrio.
Comparación
Bifurcación silla-nodo y Bifurcación transcrıtica
Véase también
- Bifurcaciones de ecuaciones diferenciales
- Bifurcación tridente
- Bifurcación transcrıtica
- Bifurcación de Hopf
Referencias
- ↑ Strogatz, "Non-linear Dynamics and Chaos: With applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering", Perseus Books, 2000.
- ↑ Weisstein, Eric W. "Fold Bifurcation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/FoldBifurcation.html
- ↑ Guckenheimer, John; Holmes, Philip (1983), Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields, Springer, Section 3.3, ISBN 0-387-90819-6.
