Función exponencial

Función exponencial

Funciones exponenciales.

Se llaman así a todas aquellas funciones de la forma f(x) = b^x, en donde la base b, es una constante y el exponente la variable independiente. Estas funciones tienen gran aplicación en campos muy diversos como la Biología, Administración, Economía, Química, Física e Ingeniería.

Definición

La definición de función exponencial exige que la base sea siempre positiva y diferente de uno (b > 0 y b≠1). La condición que b sea diferente de uno se impone, debido a que al reemplazar a b por 1, la función b^x se transforma en la función constante f(x) = 1. La base no puede ser negativa porque valores de la forma f(x)=(-9)1/2 no tendrían sentido con números reales.

Dominio y codominio

El dominio de la función exponencial está formada por el conjunto de los números reales y su codominio está representado por el conjunto de los números reales positivos.

La función exponencial de base dos

y=f(x)=2^x

La tabla siguiente muestra algunos valores para la función de base dos. x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x) 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8

Para graficar esta función se localizan estos puntos en un plano cartesiano, uniéndolos con una curva suave, tal como se modela en la siguiente figura. Mueve el punto P y observa el comportamiento de la función a medida que:

• x crece ilimitadamente (tiende a +∞ ), 2^x tiende a más infinito.
• x decrece ilimitadamente ( (tiende a -∞ ), 2^x tiende a cero.

La Función exponencial de base 1/2

Analicemos ahora el comportamiento de la función exponencial de base 1/2. Mueve el punto P y observa el comportamiento de la función cuando x tiende a +¥ y cuando x tiene a -¥.

y=f(x)=(1/2)x

x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x) 8 4 2 2 1/2 1/4 1/8

La Función exponencial para cualquier valor de b

Utiliza la siguiente escena para analizar el comportamiento de otras funciones exponenciales, para diferentes valores de b. Usa las flechas para modificar el valor de la base b. Compara el comportamiento de la función para valores de b 1 y valores de comprendidos entre 0,1.

Las escenas anteriores permiten deducir que:

• La función exponencial existe siempre para cualquier valor de la variable independiente x.

• Toma valores positivos para cualquier valor de x.

• El dominio de la Función_exponencial es todo el conjunto de los números reales.

• Todas las funciones pasan por el punto (0,1).

• Las gráficas de las funciones exponenciales, f(x)=b^x, con b >1 son crecientes. Los valores de la función crecen cuando x aumenta.

• Las gráficas de las funciones exponenciales, f(x)=b^x, con 0 < b < 1 son decrecientes. Los valores de la función decrecen cuando x aumenta.

• El eje x es una asíntota horizontal, hacía la izquierda si b 1 y hacía la derecha si b 1.

• La definición exige que la base sea positiva y diferente de uno.

Fuente

• Educar en la Red

• Vitutor