Fundamentos del análisis matemático
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Fundamentos del análisis matemático Libro de texto en tres tomos en los cuales se examinan una serie de problemas relacionados con el análisis de las funciones matemáticas, sucesiones, polinomios, integrales y del cálculo. Los autores aspiraban a hacer la exposición más sistemática y subrayar los teoremas y conceptos más importantes.
Sinopsis
El Curso de Fundamentos del Análisis Matemático de los Autores Rusos V. Ilín, E. Pozniak, en tres Tomos, es uno de los mejores escritos en Rusia y, además, muy didáctico. En el fundamento de este libro se han puesto las conferencias dictadas por los autores en la Universidad Estatal de Moscú M. V. Lomonósov durante toda una serie de años. Al igual que en los tomos 1, 2, los autores aspiraban a hacer la exposición más sistemática y subrayar los teoremas y conceptos más importantes.
Además del material previsto por el programa, el libro contiene una serie de cuestiones adicionales que juegan un papel de importancia en diferentes apartados de las matemáticas modernas y de la física (teoría de la medida y la integral de Lobesgue, teoría de los espacios de Hilbert y de operadores autoconjugados lineales, teoría de las formas diferenciales en los espacios euclídeos u otros).
Algunos apartados están tratados con mayor generalidad y para las restricciones más débiles que las usuales. Entre ellas pueden mencionarse, por ejemplo, las condiciones de la diferenciación término a término y de integración término a término de las sucesiones funcionales y de las series, el teorema sobre el cambio de las variables en una integral múltiple, fórmulas de Green y de Stokes, las condiciones necesarias de integrabilidad de una función acotada según Riemann y según Lebesgue.
Índice
- Capítulo 1. Nociones preliminares sobre conceptos fundamentales del análisis matemático
- Conceptos matemáticos que surgen al describir el movimiento.
- Velocidad instantánea y nuevos conceptos matemáticos relacionados con ella.
- Problema del restablecimiento de la ley de movimiento por la velocidad y la problemática matemática relacionada con éste.
- Problemas que surgen al calcular el recorrido del punto.
- Observaciones finales.
- Capítulo 2. Teoría de los números reales.
- Números reales.
- Propiedades de los números.
- Medición de los segmentos del eje numérico.
- Números reales y regla de su comparación.
- Aproximación de un número real por medio de los números racionales.
- Conjunto de números reales acotados superior o inferiormente.
- Operaciones aritméticas con los números reales. Propiedades fundamentales de los números reales.
- Definición de la suma de los números reales.
- Definición del producto de los números reales.
- Propiedades de los números reales.
- Algunas relaciones frecuentemente utilizadas.
- Algunos conjuntos concretos de números reales
- Complementos 1.
- Conversión de los números del sistema decimal al binario y del sistema binario al decimal.
- Conversión de los números del sistema decimal al sistema binario.
- Conversión de los números del sistema binario al sistema decimal.
- Complementos 2. Errores del redondeo de los números en los sistemas de numeración de bases par e impar.
- Complementos 1.
- Capítulo 3. Límite de una sucesión.
- Sucesiones numéricas.
- Sucesiones numéricas y operaciones con ellas.
- Sucesiones acotadas y no acotadas.
- Sucesiones infinitas e infinitesimales.
- Propiedades fundamentales de las sucesiones infinitesimales.
- Sucesiones numéricas.
- Sucesiones corventes y sus propiedades fundamentales.
- Concepto de sucesión convergente.
- Propiedades fundamentales de las sucesiones convergentes.
- Paso al límite en las desigualdades.
- Sucesiones monótonas.
- Definición de la sucesión monótona2.
- Criterio de convergencia de la sucesión monótona.
- Algunos ejemplos de sucesiones monótonas convergentes.
- El número e.
- Algunas propiedades de sucesiones arbitrarias y conjuntos numéricos.
- Sucesiones de sucesiones numéricas.
- Puntos límites de una sucesión.
- Existencia del punto límite de una sucesión acotada.
- Extracción de una sucesión convergente.
- Condición necesaria y suficiente de convergencia de la sucesión.
- Algunas propiedades de conjuntos numéricos arbitrarios.
- Complemento 1. Teorema de Schtolz.
- Complemento 2.Velocidad de convergencia de la sucesión que aproxima (raíz de a)
- Capítulo 4.Concepto de función. Valor límite de la función. Continuidad.
- Concepto de función:
- Magnitud variable y función.
- Métodos de representación de la función.
- Concepto de valor límite de una función:
- Definición del valor límite de una función.
- Operaciones aritméticas sobre las funciones que tienen valor límite.
- Comparación de funciones infinitesimales e infinitas.
- Concepto de continuidad de una función:
- Definición de la continuidad de una función.
- Operaciones aritméticas sobre las funciones continuas.
- Función compuesta y su continuidad.
- Algunas propiedades de las funciones monótonas:
- Definición y ejemplos de funciones monótonas.
- Concepto de función inversa. Funciones monótonas que tienen la inversa.
- Funciones elementales más simples:
- Potencias racionales de los números positivos.
- Función exponencial.
- Función logarítmica.
- Funciones hiperbólicas.
- Función potencial con cualquier exponente real.
- Funciones trigonométricas.
- Funciones trigonométricas inversas.
- Valores límites de algunas funciones:
- Notas preliminares.
- Valor límite de la función seno de x sobre x en el punto x=0 (primer límite notable) .
- Valor límite de la función (1+1/x)x cuando x--ganma
Fuente
- V. llín, E. Pozniak, (1982). Fundamentos del análisis matemático. Editorial MIR, Moscú, Rusia,
